实数理论
实数理论.
实数理论¶
实数域¶
实数域即为由 \((\mathbb{R},0,1,+,\cdot,\leq)\) 构成的一个完备的全序域. 域即为 \(\mathbb{R}\) 关于 \(+\) 构成交换群， \(\mathbb{R}\backslash\{0\}\) 关于 \(\cdot\) 构成交换群. 全序指的是 \(\forall x,y\in \mathbb{R}((x\leq y)\wedge(y\leq x))\) ，完备指的是满足： \(\mathbb{R}\) 中的有界子集一定有上确界（或者其他等价命题）. 最后简写为： \(\mathbb{R}\)
实数域也可以由集合构建，首先构建自然数集 \(\mathbb{N}\) ：
用集合构造 \(\mathbb{N}\) 的方法有很多，这里是 \(n+1=\{n,\{n\}\}\) 的形式，然后用有序对构造有理数集 \(\mathbb{Q}\) ： \(\mathbb{Q}=\{(a,b):a\in \mathbb{N},b\in \mathbb{N}\backslash\{0\}\}\) 最后用 Dedekind 分割构造无理数集合. #imcomplete
实数域的性质¶
阿基米德性质¶
对于任意 \(x\in \mathbb{R}\) ，存在 \(n\in \mathbb{N}\) 使得 \(x<n\) .
假设 \(\exists x\in \mathbb{R},\forall n\in \mathbb{N}(x>n)\) ，进而可以得到 \(\mathbb{N}\) 为有界集合，依据实数域的完备性可得，存在 \(y\in \mathbb{R}\) 为 \(\mathbb{N}\) 的最小上界，所以 \(\exists n_0\in \mathbb{N},y-1<n\) 所以 \(y<n+1\) ，与 \(y\) 为 \(\mathbb{N}\) 的上界矛盾.
自然数的良序性¶
有理数的稠密性¶
区间套定理¶
对于闭区间套： \(\([a_1,b_1]\supset [a_2,b_2]\supset\cdots\supset[a_n,b_n]\supset\cdots\)\) 有 \(\bigcap_{n=1}^{\infty}[a_i,b_i]\neq\emptyset\)
证明
注意到 \(\{a_n\},\{b_n\}\) 均为有界集合，从而根据完备性， \(\{a_n\}\) 有最小上界，记为 \(c\) ，且 \(c\leq b_n,\forall n\geq1\) ，所以可以得到 \(a_n\leq c\leq b_n,\forall n\geq1\) ，所以 \(\bigcap_{n=1}^{\infty}[a_i,b_i]\neq\emptyset\) .
\(\mathbb{R}^n\) 上¶
下面将 \(\mathbb{R}\) 上的一些性质推广到 \(\mathbb{R}^n\) 上.
首先证明一个引理：
列紧集有界.
假设 \(A\) 为列紧集， \(A\) 无界，任取 \(a\in A\) ，则对于任意的 \(n\in \mathbb{N}\) 存在 \(a_n\in A:d(a,a_n)\geq n\) . 对于序列 \(\{a_n\}_{n\geq1}\) ，由 \(A\) 列紧，存在子列 \(\{a_{n_k}\}_{k\geq1}\) ， \(\{a_{n_k}\}\rightarrow b(k\rightarrow \infty)\) ，从而 \(\(d(a,b)\geq d(a,a_{a_k})-d(a_{n_k},b)\geq n_k-d(a_{n_k},b)\leq n-d(a_{n_k},b),\forall n\in \mathbb{N}\)\) ，当 \(k\) 足够大时， \(d(a_{n_k},b)<1\) ，从而有 \(d(a,b)\geq n-1,\forall n\in \mathbb{N}\) ，则 \(d(a,b)=+\infty\) ，而 \(d(a,b)\in \mathbb{R}\) 应为一确定实数，矛盾！所以列紧集 \(A\) 有界.
下面这个定理类似于 Weierstrass Bounded 和 Weierstrass extreame value 定理.
Weierstrass 定理： \(S\subset \mathbb{R}^n\) ， \(S\) 有界. \(f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}\) 为连续函数. 则有以下结论：取 \(y\in S\) ， 1) 如果 \(T=\{x\in S:f(x)\geq f(y)\}\) 是列紧集，则 \(f\) 在 \(S\) 上取得上确界. 2) 如果 \(T=\{x\in S:f(x)\leq f(y)\}\) 是列紧的，则 \(f\) 在 \(S\) 上取得下确界. 3) 如果 \(S\) 是列紧的，则 \(f\) 在 S 上取得上、下确界.
证明：1,2 问都需要说明 \(f(S)\) 是有上（下）界的，这点可以参考上面证明列紧集是有界集，利用反证法证之.
1) 取 \(u=\sup f(S)=\sup f(T)\) ，则存在 \(\{x_n\}_{n\geq1}\subset T:f(x_n)>u-\frac{1}{n}\) ，因为 \(T\) 列紧，所以存在子列 \(\{x_{n_k}\}_{k\geq1}\) ，收敛于 \(z\in T\subset S\) ，从而由 \(f\) 为连续函数： \(f(x_{n_k})>u-\frac{1}{n_k}\) ，取 \(k\rightarrow \infty\) 可得 \(f(z)\geq u\) ，所以 \(f(z)=u\) . 则 \(f\) 在 \(S\) 上可以取得上确界.
2) 取 \(u=\inf f(X)=\inf f(T)\) ，则存在 \(\{x_n\}_{n\geq1}\subset T:f(x_n)<u+\frac{1}{n}\) ，因为 \(T\) 列紧，所以存在子列 \(\{x_{n_k}\}_{k\geq1}\) ，收敛于 \(z\in T\subset S\) ，从而由 \(f\) 为连续函数： \(f(x_{n_k})<u+\frac{1}{n_k}\) ，取 \(k\rightarrow \infty\) 可得 \(f(z)\leq u\) ，从而 \(f(z)=u\) .
3) 因为 \(S\) 为列紧集，所以 \(S\) 为有界集，则存在 \(u=\sup S\) ，可取得数列 \(\{x_n\}_{n\geq1}:f(x_n)>u-\frac{1}{n}\) ，由 \(S\) 为列紧集可以取 \(\{x_{n_k}\}\rightarrow z\) ，从而有 \(f(z)=u\) ，取得下界同理.