实变函数
依赖与简介¶
实数理论 ，集合论中关于集合运算、极限、势以及特殊集合（如 Cantor 集）. 以及数分中的一些结论： MA#上下极限 .
Riemann 积分的局限性¶
\(f\) 在 \([a,b]\) 上 Riemann 可积的充分必要条件：
其中 \(\lvert \Delta\rvert=\max\{x_i-x_{i-1}:i=1,\cdots,n\}\)
Riemann 可积粗略上看是要求函数几乎处处连续，即对于函数的不连续点，可以用任意小的区间包含.
数学分析中一个最常见的问题是极限与积分运算交换：
有以下命题成立：
如果函数列 \(f_n\) 一致收敛到 \(f\) 则：
但一致收敛这一要求是不必要的.
有界收敛定理：设 \(f_n\) 在 \([a,b]\) 上 Riemann 可积， \(\lvert f_n(x)\rvert\leq M,\forall n\geq1,x\in[a,b]\) ， \(\lim_{n\rightarrow \infty}f_n=f,\forall x\in[a,b]\) ，并且 \(f\) 在 \([a,b]\) 上 Riemann 可积，则有： \(\lim_{n\rightarrow \infty}\int_a^bf_n(x)=\int_a^bfdx\) .
这里其实不能让人满意的一点是 \(f\) 必须是可积的，也就是从 \(f_n\) 可积， \(f_n\) 逐点收敛于 \(f\) ，无法得到 \(f\) 可积. 再看下面这一定理：
\(\{f_n\}_{n\geq1}\) 是
但 \(\lim_{n\rightarrow \infty}f_ndx\) 的值实际上依赖于 \(f\) .
因此，为何不妨定义积分： \(\int_a^bfdx=\lim_{n\rightarrow \infty}f_ndx\) ？这正是实变函数中的一般可测函数的 Lebesgue 积分定义.
在极限与积分换序这一问题下 Riemann 积分的有不足之处： Riemann 积分要求函数必须是可积的，许多函数并不满足这样的性质.
需要引入 Lebegue 积分.
其中 \(f_n(x)\rightarrow f(x),x\in X\) . 以下两个问题都可以转换为对该问题的讨论 #issue ：
Lebegue 积分是 Riemann 积分的推广， Riemann 积分要求：
存在，即对于定义域进行划分后求和. Lebegue积分则对于值域进行划分然后求和：
Lebegue积分在理论上有用，但实际计算时一般使用 Riemann 积分.
实数与集合¶
测度：定义在 \(\mathbb{R}\) 上. 也可以推广，例如 \(\mathcal{F}\) 上的测度 \(\mathcal{P}\) . 定义外测度以定义 Lebegue 测度，最终目标是 Lebegue 可测集，如何证明一个集合是可测的（2.5）.
测度是定义在集合上的，所以需要对集合有一定了解. 涉及到集合极限、像集和原像集、等价 / 基数、拓扑（但主要用到的是开集和闭集，注意 Cantor 集和 Cantor 函数）
\(\mathbb{R}\) 上任一实函数的连续点全体为可数个开集的交.
引入振幅函数： \(w(I)\overset{def}{=}\sup_{x\in I}f(x)-\inf_{x\in I}f(x)\) . \(w(x)\overset{def}{=}\lim_{\delta\rightarrow0^+}w(B(x,\delta))\) ，因为 \(f\) 在 \(x\) 点连续， \(\Leftrightarrow w(x)=0\) . 下面考虑 \(A=\bigcap_{n=1}^\infty\{x:w(x)<\frac{1}{n}\}\) ，证明 \(A\) 为开集，首先证明 \(B=\{x:w(x)<\frac{1}{n}\}\) 是开集： \(\forall x_0\in B,\exists \delta_0,w(B(x,\delta_0))<\frac{1}{n}\) . 可以取 \(\delta_1:B(x_0,\delta_n)\subset B(x,\delta_0)\) ，则 \(B\) 为开集. 所以 \(A\) （连续点全体）是可数个开集的交.
构成区间¶
下面讨论 \(\mathbb{R}\) 上开集，首先定义构成区间：设 \(E\subset \mathbb{R}\) 为开集，则若 \((a,b)\subset E\) 并且 \(a,b\neq E\) ，则称 \((a,b)\) 为 \(E\) 的构成区间.
设 \(X\subset \mathbb{R}\) 为开集， \(\forall x\in X\) ，存在包含 \(x\) 的 \(E\) 的构成区间.
证明：由 \(E\) 为开集，可设 \(a=\inf\{a':a'<x,(a',x)\subset E\}\) ， \(b=\sup\{b':b'>x,(x,b')\subset E\}\) . \(\forall y\in (a,x)\) 由 \(a\) 的定义可知 \((y,x)\subset E\) ，从而可知 \((a,x)\subset E\) ，同理可证 \((x,b)\subset E\) ，因此 \((a,b)\subset E\) ，如果 \(a\in E\) ，则 \(\exists \delta>0,(a-\delta,a+\delta)\subset E\) ，从而 \(a-\frac{\delta}{2}\in E\) ，与 \(a\) 的定义矛盾. 所以 \(a\notin E\) ，同理可得 \(b\notin E\) ，因此 \((a,b)\) 为 \(E\) 的构造区间.
任何一开集都可以表示为至多可数个两两不交的开区间的并.
设 \(E\) 为开集，对于任意 \(x\in E\) ，存在构造区间 \(I_x\ni x\) ，由构造区间的定义可知 \(E=\cup_{x\in E}I_x\) . 而对于任意两个构造区间 \(I_x=(a,b),I_y=(c,d),x\neq y\) ，若 \(I_x\neq I_y\) ，则不妨设 \(b<d\) 则 \(b\leq c\) ，否则 \(b\in (c,d)\subset E\) ，矛盾，因此两个构造区间要么不交要么重合. 下面说明构造区间的并为至多可数个：在每一个构造区间中取一有理数 \(r_x\in I_x\) （重合的构造区间算作一个），进而得到一有理数集合 \(\{r_x\}_{x\in I'}\) ，该有理数集合可以与可数集 \(\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\) 的一个子集建立双射（还需要将每个有理数 \(r_x\) 映射为 \((m,n):(m,n)=1\) ），从而至多可数. 从而得证.
上面这一定理在实变中说明任何开集都是可测集.
设 \(f:X\rightarrow \mathbb{R}\) . [[2422Su152807]]
\(G=[0,1]-C\) 的构成区间的长度和为 \(1\) ，其中 \(C\) 是 Cantor 集.
由 \(G\) 的定义即可直接得到. 计算 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{3^n}=1\)
完备¶
定义聚点： \(x\in E\) ，对于任意 \(x\) 的邻域 \(U\) ，若 \((U-\{x\})\cap E\neq\emptyset\) ，则称 \(x\) 为 \(E\) 的聚点. 显然聚点一定是附着点. 称聚点的全体为导集，记为 \(E'\) . 定义非聚点的点为孤立点. 根据 GTopo#^Closure 中对于闭包的第二定义， \(\bar{E}=E\cup E'\) .
根据聚点的定义有等价定义：若 \(x\) 为 \(E\) 的聚点，则 \(\exists\{x_n\}_{n\geq1},x_n\neq x,x_n\rightarrow x(n\rightarrow \infty)\) .
对于任意 \(\mathbb{R}^n\) 中的集合 \(E\) ， \(E'\) 为闭集.
证明：说明 \(E'^c\) 为开集即可.
定义完备集：没有孤立点的闭集. 显然完备集有以下等价定义：
\(E\) 是完备集等价于 \(E=E'\) .
\(\mathbb{R}\) 上的完备集还有以下等价刻画：
\(F\subset \mathbb{R}\) 为完备集的充分必要条件为 \(F^c\) 为至多可数个两两没有公共端点的开区间之并.
证明：
\(\Rightarrow\) ： \(F^c\) 为开集，从而可以表示为至多可数个两两不相交的开区间的并（#构成区间），假设存在公共端点，则 \(F\) 中将会出现孤立点，矛盾！
\(\Leftarrow\) ：显然 \(F\) 为闭集，并且若存在孤立点 \(x\in F,x\notin F^c\) ，则存在 \(U\ni x:U\backslash\{x\}\cap F^c\neq\emptyset\) ，从而 \(x\) 为两个不交开区间的端点，矛盾！
因为 \(G=[0,1]\backslash C\) 可以被表示为至多可数个（ \(\bigcup_{n=1}^\infty \bigcup_{k=1}^{2^n-1}I_{n,k}\) ）两两不相交且没有公共端点的开区间之并，所以
\(\(C=\mathbb{R}-(-\infty,0)-(1,\infty)-G\)\)
是完备集（此处需要说明， \(G\) 中的开区间均不以 \(0,1\) 为公共端点）.
另外更多关于 Cantor 集的性质见 GTopo#Cantor 集 .
Lebesgue 测度¶
首先定义广义实数： \(\mathbb{R}\cup\{+\infty,-\infty\}\) ，定义运算： \(\forall a\in \mathbb{R}\)
广义实数中定义了 \(0\) 和 \(\infty\) 的乘积，结果为 \(0\) ，并没有考虑阶数.
注意，上面没有定义 \((+\infty)+(-\infty)\) 的运算，之后可能需要刨掉某些定义域. e.g. #^fAddGMeasurable
对于 \(\mathbb{R}\) 中的区间 \(I\) ，如果 \(I\) 有界，则其左右端点 \((a,b)\) 一定满足： \(a\neq-\infty,b\neq+\infty\) . 记 \(l(I)=b-a\) ，如果 \(I\) 是无界区间则定义 \(l(I)=\infty\) .
对于 \(\mathbb{R}\) 中的区间全体构成的集族，可以为其中的每一个元素定义长度（ \(I\rightarrow \mathbb{R}^+\cup\{0,\infty\}\) 的一个映射），并且该长度具有一些性质；下面考虑的问题是，对于一般的 \(\mathbb{R}\) 中的子集，如何定义其“长度”. 考虑 \(\mathbb{R}\) 上的集族 \(\Omega\) ，希望该集族类似于区间也具有如下性质：
\(\Omega1)\) 所有的区间都是 \(\Omega\) 中的元素；
\(\Omega2)\) \(E\in \Omega\) ， \(E^c=\mathbb{R}-E\in \Omega\) ；
\(\Omega3)\) \(\Omega\) 中任意至多可数个元素的并仍然在 \(\Omega\) 中； ^LebesgueMesurableSet
并且由 2,3 可以推出 \(\Omega\) 中任意至多可数个元素的交仍然在 \(\Omega\) 中.
对于长度（以下称为测度） \(m\) 希望其具有如下性质：
\(m1)\) \(\forall E\in \Omega,m(E)\) 为非负广义实数；
\(m2)\) \(m\) 保持区间长度：对于任意区间 \(I\in \Omega,m(I)=l(I)\) ；
\(m3)\) \(\{E_n\}_{n\geq1}\) 是 \(\Omega\) 中一两两不相交的集合列，则 \(m\left(\bigcup_{n\geq1}E_n\right)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}m(E_n)\) .
下面尝试用区间上已经定义的长度定义 \(m\) . 首先引入外测度的概念，在此基础上定义测度和 \(\Omega\) .
Lebesgue 外测度¶
对于任意的 \(E\subset \mathbb{R}\) ，定义 \(E\) 的外测度为：
显然 \(m^*(E)\) 为非负广义实数，满足 \(m1)\) . 下面来讨论 \(m^*\) 的性质.
对任意至多可数点列 \(E=\{x_n\}_{n\geq1}\subset \mathbb{R}\) ， \(m^*(E)=0\) . 进一步可得 \(\mathbb{R}\) 中任何至多可数集的外测度为 \(0\) .
证明：对于任意的 \(\epsilon>0\) ，对任意 \(x_n\) 存在区间 \(I_n=\left(x_n-\frac{\epsilon}{2^{n+1}},x_n+\frac{\epsilon}{2^{n+1}}\right)\ni x_n\) ，并且 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}l(I_n)=\epsilon\) ，从而可得 \(m^*(E)\leq \epsilon\) ，由 \(\epsilon\) 的任意性，结合 \(m^*(E)\geq0\) 可得 \(m^*(E)=0\) .
^AtMostZero
单调性：若 \(E_1\subset E_2\) ，则 \(m^*(E_1)\leq m^*(E_2)\) .
证明：对任意 \(E_2\) 的开覆盖 \(\{I_n\}_{n\geq1}\) 显然其也为 \(E_1\) 的开覆盖，因此有： \(\(m^*(E_1)\leq \sum\limits_{n=1}^{\infty}l(I_n)\)\) 由有开覆盖的任意性，取下确界可得 \(m^*(E_1)\leq m^*(E_2)\) .
下面说明定义的外测度满足 \(m2)\) .
对任意区间 \(I\in \Omega,m^*(I)=l(I)\) .
证明：首先考虑有界闭区间 \(I=[a,b]\) ，设 \(\{I_n\}_{n\geq1}\) 为 \(I\) 的一个开覆盖，则由紧集的性质可得存在有限子覆盖 \(\{I_{n_k}\}_{1\leq k\leq m}\) ，从而有 \(l^(I)\leq \sum\limits_{k=1}^{m}l(I_{n_k})\leq \sum\limits_{n=1}^{\infty}l(I_n)\) ，取下确界即可得到 \(l(I)\leq m^*(I)\) . 另一方面，取 \(I\subset (a-\epsilon/2,b+\epsilon/2)\) ，由外测度的单调性可知 \(m^*(I)\leq \epsilon+b-a\) ，由 \(\epsilon\) 的任意性， \(m^*(I)\leq l(I)\) ，综上 \(m^*(I)=l(I)\) .
考虑有界半开半闭区间 \(I=(a,b]\) ，注意到 \(m^*(I)\leq m^*([a,b])\) ，并取 \([a+\epsilon,b]\subset I\) ，可得 \(m^*(I)\geq b-a-\epsilon\) ，由 \(\epsilon\) 的任意性可得 \(m^*(I)=m^*([a,b])\) ，从而有 \(m^*(I)=l(I)\) . （注意这里区间长度的定义只算端点，不考虑开闭） \(I=[a,b)\) 以及有界开区间 \(I=(a,b)\) 同理.
设 \(I\) 为无界区间 \([a,+\infty)\) ，则对于任意 \(b>a\) 有 \(m^*(I)\geq b-a\) ，令 \(b\rightarrow \infty\) 可得 \(m^*(I)=\infty\) .
已经说明了外测度满足 \(m1),m2)\) ，但是不足以保证其具有 \(m3)\) ，只能证明下面的次可加性（下面的条件没有要求两两不交）：
设 \(\{E_n\}_{n\geq1}\) 是 \(\mathbb{R}\) 上的一子集族，则 \(m^*(\cup_{n=1}^\infty E_n)\leq \sum\limits_{n=1}^{\infty}m^*(E_n)\) .
不妨设 \(m^*(E_n)\neq \infty,\forall \epsilon>0,n\geq1\) ，存在 \(\{I_n^k\}_{k\geq1}\) 满足 \(E_n\subset \bigcup_{k\geq1}I_n^k\) 同时 \(\sum\limits_{k=1}^{\infty}l(I_n^k)<m^*(E_n)+\frac{\epsilon}{2^n}\) . 从而有： \(\(\begin{aligned} m^*(\cup_{n=1}^\infty E_n)&\leq m^*\left(\bigcup_{n=1}^\infty \bigcup_{k=1}^\infty I_n^k\right)\leq \sum\limits_{n=1}^{\infty}\sum\limits_{k=1}^{\infty}m^*(I_n^k)\\ &\leq \sum\limits_{n=1}^{\infty}m^*(E_n)+\frac{\epsilon}{2^n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}m^*(E_n)+\epsilon \end{aligned}\)\) 再由 \(\epsilon\) 的任意性可得 \(m^*(\bigcup_{n=1}^\infty E_n)\leq \sum\limits_{n=1}^{\infty}m^*(E_n)\) .
Lebesgue 可测集和 Lebesgue 测度¶
自查表
- 可测集的定义；
为了定义满足 \(m3)\) 的测度，将 \(\mathbb{R}\) 进行如下限制：定义 Lebesgue 可测集 \(E\) ，对于任意 \(A\subset \mathbb{R}\) 有： \(m^*(A)\geq m^*(A\cap E)+m^*(A\cap E^c)\) . 并且由外测度本身的性质可得 \(m^*(A)=m^*(A\cap E)+m^*(A\cap E^c)\) .
Lebesgue 测度具有可数可加性 \(m3)\) .
设可测集列 \(\{E_n\}_{n\geq1}\) ，若该集列单增或者 单减且 \(m(E_1)<\infty\) ，则有 \(\lim_{n\rightarrow \infty}m(E_n)=m(\lim_{n\rightarrow \infty}E_n)\)
证明：若 \(\{E_n\}_{n\geq1}\) 单增，注意到 \(m(\lim_{n\rightarrow \infty}E_n)\geq m(E_k),\forall k\geq1\) ，因此不妨设 \(m(\lim_{n\rightarrow \infty}E_n)<\infty\) ，则：
其中 \(E_0=\emptyset\) .
若 \(\{E_n\}_{n\geq1}\) 单调递减，则 \(\{E_1-E_n\}_{n\geq1}\) 单调递增，所以
并且因为 \(m(E_1)<\infty\) ，所以 \(\lim_{n\rightarrow \infty}m(E_n)=m(\cap_{n\geq1}E_n)=m(\lim_{n\rightarrow \infty}E_n)\) .
^MonotonousLimit
零测集可测.
设 \(A\) 可测并且 \(m(A\Delta B)=0\) ，求证： \(B\) 可测.
设 \(F\) 是 \([0,1]\) 中的不可测集，求证：存在 \(0<\epsilon<1\) ，使对 \([0,1]\) 中任何满足 \(m(E)\geq \epsilon\) 的可测集 \(E\) ， \(F\cap E\) 也是不可测集.
反证：假设对于任意的 \(n\geq 1\) ，存在 \(E_n\) 满足 \(m(E_n)\geq 1-1/n\) ， \(E_n\) 为可测集，而 \(F\cap E_n\) 为可测集，令 \(E=\bigcup_{n\geq1}E_n\) ，从而 \(m(E)\geq m(E_n)\geq1-1/n,\forall n\geq1\) ，从而可得 \(m(E)=1\) ，所以 \(m(F\cap E^c)\leq m(E^c)=0\) ，从而 \(F\cap E^c\) 可测，并且 \(F\cap E=\cap_{n\geq1}(F\cap E_n)\) 可测，所以 \(F=(F\cap E^c)\cup (F\cap E)\) 可测，矛盾！
设集合 \(E\subset \mathbb{R}\) ，对于任意的可测集 \(A\) 有 \(m(A)=m^*(A\cap E)+m^*(A\cap E^c)\) ，求证 \(E\) 可测.
证明：欲证 \(m^*(E)\geq m^*(E\cap D)+m^*(E\cap D^c),\forall D\subset \mathbb{R}\) ；对于任意集合 \(D\subset \mathbb{R}\) 对任意的 \(\epsilon>0\) ，存在 \(\{I_n\}_{n\geq1}\supset D\) 使得 \(D\subset \bigcup_{n\geq1}I_n\) 并且 \(\sum\limits_{n\geq1}^{}l(I_n)<m^*(D)+\epsilon\) ，则令 \(A=\bigcup_{n\geq1}I_n\) 从而可得：
由 \(\epsilon\) 的任意性可得 \(m^*(D)\geq m^*(D\cap E)+m^*(D\cap E^c)\) ，所以 \(E\) 是可测集.
设 \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) 具有连续的一阶导数，记 \(A=\{x\in \mathbb{R}:f'(x)=0\}\) ，求证 \(m^*(f(A))=0\) .
证明：考虑 \(\{(f(x)-\epsilon,f(x)+\epsilon)\}_{x\in A}\) ，假设对于任意的 \(\epsilon>0\) ，存在 \(I_x\cap I_y\ni z\) ，则
可测集的变换¶
设 \(E\subset \mathbb{R},y\in \mathbb{R}\) 称 \(E_y=\{x+y:x\in E\}\) 为 \(E\) 关于 \(y\) 的平移.
容易得到 \(E\cap F_y=(E_{-y}\cap F)_y\) ， \((E^c)_y=(E_y)^c\) .
注意到对于区间 \(I_y\) ， \(l(I_y)=l(I)\) ，平移的一个非常重要的性质是不改变外测度.
\(m^*(E)=m^*(E_y)\) .
证明：对于任意的 \(\epsilon>0\) ，存在开区间列 \(\{I_n\}_{n\geq1}\) ， \(\bigcup_{n\geq1}I_n\supset E\Rightarrow\bigcup_{n\geq1}(I_n)_y\supset E_y\) ，从而 \(m^*(E_y)\leq \sum\limits_{n\geq1}^{}l(I_n)<m^*(E)+\epsilon\) ，所以 \(m^*(E_y)\leq m^*(E)\) ，同理可得 \(m^*(E)\leq m^*(E_y)\) .
在此基础上可以证明测度也保持平移不变：
设 \(E\) 是可测集，则 \(\forall y\in \mathbb{R},E_y\) 也可测并且 \(m(E)=m(E_y)\) .
证明：对任意的 \(A\subset \mathbb{R},y\in \mathbb{R}\) ，
\(\overset{*}{=}\) 依赖于平移的两个性质. 所以 \(E_y\) 也可测. \(m(E_y)=m^*(E_y)=m^*(E)=m(E)\) .
对于仿射变换也有这一结论：
\(E\subset \mathbb{R}\) 可测，则 \(\forall a,b\in \mathbb{R},F=aE+b\) 也可测，并且 \(m(F)=\lvert a\rvert m(E)\) .
证明：为证明 \(F\) 可测只需要证明 \(G=aE\) 可测. 首先讨论 \(m^*(aA)\) ，对于任意的 \(A\subset \mathbb{R},a\in \mathbb{R}\) ，对于任意 \(\epsilon>0\) ，存在开区间列 \(\{I_n\}_{n\geq1}\) ，使得 \(\bigcup_{n\geq1}aI_n\supset aA\) ， \(\sum\limits_{n\geq1}^{}\lvert a\rvert l(I_n)=\sum\limits_{n\geq1}^{}l(aI_n)<\lvert a\rvert m^*(A)+\lvert a\rvert\epsilon\) ，从而可得 \(m^*(aA)<\lvert a\rvert m^*(A)+\epsilon \lvert a\rvert\) ，进而由 \(\epsilon\) 的任意性的 \(m^*(aA)\leq \lvert a\rvert m^*(A)\) ；并且 \(m^*(A)=m^*(a^{-1}aA)\leq \lvert a\rvert^{-1}m^*(aA)\) 从而可得 \(m^*(aA)=\lvert a\rvert m^*(A)\) .
从而可得结论.
下面来说明可测集的子集并不一定可测.
定义 \(E(x)=\{y\in[0,1]:\exists x,y-x\in \mathbb{R}\}\) . 显然 \([0,1]=\bigcup_{x\in [0,1]}E(x)\) ，并且对于任意的 \(x_1\neq x_2\) ， \(E(x_1)=E(x_2)\) 或者 \(E(x_1)\cap E(x_2)=\emptyset\) . 因此可以构造 \(F\subset [0,1]\) ， \(\forall f_1,f_2\in F\) ， \(E(f_1)\cap E(f_2)=\emptyset\) . 下面证明 \(F\) 是 \([0,1]\) 的不可测子集，利用可测集的可数可加性进行反证.
设 \(\{r_n\}_{n\geq1}=\mathbb{Q}\cap [0,1]\) ，考虑 \(F\) 的平移 \(F_{r_n}\overset{def}{=}F_n\) ，由 \(F\) 的定义可知 \(F_m\cap F_n=\emptyset,\forall m\neq n\) （否则 \(x=r_n+x'=r_m+x'',E(x')=E(x'')\) 矛盾！），从而由可数可加性和平移保持测度， \(m\left(\bigcup_{n\geq1}F_n\right)=\sum\limits_{n\geq1}^{}m(F)\) . 又 \([0,1]\subset \bigcup_{n\geq1}F_n\subset [0,2]\) ，所以 \(1\leq \sum\limits_{n\geq1}^{}m(F)\leq 2\) ，这说明 \(m(F)\neq0\) ，从而 \(\sum\limits_{n\geq1}^{}m(F)=\infty\) 矛盾！
所以 \(F\) 是不可测子集.
设 \(E\subset [0,1]\) 可测，并且 \(m(E)>0\) ，求证：存在 \(x,y\in E\) 使得 \(\lvert x-y\rvert\) 为正有理数.
证明：假设对任意 \(x,y\in E,x\neq y\) ， \(\lvert x-y\rvert\in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}\) ，设 \(\mathbb{Q}\cap[0,1]=\{r_n\}_{n\geq1}\) ，令 \(E_n=E_{r_n}\) ，如果 \(E_n\cap E_{m}\neq \emptyset,x\in E_n\cap E_m\) 则存在 \(x'\in E_n,x''\in E_m,x=x'+r_n=x''+r_m\) 从而 \(x'-x''=r_n-r_m\in \mathbb{Q}^+\) 矛盾！故 \(E_n\cap E_m=\emptyset,\forall n,m\geq1,n\neq m\) . 考虑 \(\bigcup_{n\geq1}E_n\subset[0,2]\) ，则 \(m(\cup_{n\geq1}E_n)\leq 2\) ，而 \(m(\cup_{n\geq1}E_n)=\sum\limits_{n\geq1}^{}m(E_n)=\sum\limits_{n\geq1}^{}m(E)=\infty\) （由 \(m(E)>0\) ）矛盾！综上存在 \(x,y\in E,\lvert x-y\rvert\in \mathbb{Q}^+\) .
（这个命题还可以更强，但都是一个思路）设 \(E\subset[0,1]\) 可测并且 \(m(E)>0\) ，求证：存在 \(x,y\in E,n,k\in \mathbb{N},\lvert x-y\rvert=\frac{k}{2^n}\) .
类似地，有如下重要结论 check-mse：
可测集正测当且仅当其存在不可测子集.
证明： \(\Rightarrow\) 若 \(m(G)\) 可测，设 \(E_r=\{p\in \mathbb{R}:p-r\in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}\cup \{0\}\}\) ，则 \(\mathbb{R}=\bigcup_{r\in \mathbb{Q}}E_r\) （对于任意一个无理数，一定存在有理数使两者之差为无理数），下面考虑 \(G=G\cap \mathbb{R}=\bigcap_{r\in \mathbb{Q}}G\cap E_r\) ，假设 \(E_r\cap G\) 可测（ \(\forall r\in \mathbb{Q}\) ），
则存在包含于 \(E_r\cap G-E_r\cap G\) 的开区间 \(B(0,\delta)\) ，然而对于任意的 \(y_1,y_2\in E_r\) ，如果 \(y_1-y_2\in \mathbb{Q}\) ，则 \(y_1-r=y_1-y_2+y_2-r\in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}\) #issue
设 \(f(x)\) 定义在 \(\mathbb{R}\) 上，并且对于任何可测集 \(E\) ， \(f(E)\) 可测，求证：对于任何零测集 \(Z\) ， \(f(Z)\) 也是零测集.
证明：假设存在零测集 \(Z\) ， \(m(f(Z))>0\) ，则存在 \(f(Z)\) 的不可测子集 \(G\) ，而 \(m(Z)=0\) ， \(G\subset f(Z)\) ，从而有 \(Z\) 的子集 \(W\) 使得 \(G=f(W)\) ，而且 \(m^*(f(W))\leq m^*(f(Z))=0\) ，从而可得 \(f(W)\) 可测，矛盾！
设 \(f(x)\) 在 \(\mathbb{R}\) 上连续，求证： \(f\) 将任何可测集映射为可测集的充分必要条件为 \(f\) 将任何零测集映射为零测集.
证明： \(\Rightarrow\) 由上一题给出； \(\Leftarrow\) ： 对于任意的有界闭集 \(F\subset \mathbb{R}\) ， \(f(F)\) 仍然为有界闭集（由 \(f\) 连续，以及闭集的等价刻画：收敛列仍然在闭集中）；如果 \(F\) 为无界闭集，则 \(f(F)=\bigcup_{n\geq1}f(F\cap [-n,n])\) 可测，所以 \(f(F)\) 可测. 对于任意的 \(\epsilon>0\) ，存在 \(F\in F_\sigma\) 使得 \(m^*(E\backslash F)=0\) ，从而 \(f(E\backslash F)\) 是零测集，可测，并且 \(f(F)\) 可测，所以 \(f(E)=f(E\backslash F)\cup f(F)\) 可测.
开闭集逼近可测集¶
以下三个命题等价：
（等测包）等价命题： 1) \(E\) 是可测集；2) 对于任意的 \(\epsilon>0\) 存在开集 \(G\supset E\) 使得 \(m(G\backslash E)<\epsilon\) ；3) 对于任意的 \(\epsilon>0\) ，存在闭集 \(F\subset E\) 使得 \(m(E\backslash F)<\epsilon\) .
证明： \(1)\Rightarrow 2)\) 因为 \(E\) 是可测集， i) 若 \(m(E)<\infty\) 则对于任意的 \(\epsilon>0\) 由定义可知存在 \(\{I_n\}_{n\geq1},G=\bigcup_{n\geq1}I_n\supset E\) 满足 \(m(G)\leq \sum\limits_{n\geq1}^{}m(I_n)<m(E)+\epsilon\) ，所以 \(m(G\backslash E)\leq m(G)-m(E)<\epsilon\) ii) 若 \(m(E)=\infty\) ，则取 \(E=\bigcup_{n\in \mathbb{Z}}E\cap [n,n+1)\overset{def}{=}\bigcup_{n\geq1}E_n\) ，其中 \(E_n\) 均为可测集，所以存在开集 \(G_n\supset E_n,m(G_n\backslash E_n)<\frac{\epsilon}{2^{\lvert n\rvert+2}}\) 从而可得 \(m(\bigcup_{n\in \mathbb{Z}}G_n\backslash E)=m\left(\bigcup_{n\in \mathbb{Z}}(G_n\backslash E_n)\right)\leq \sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}^{}m(G_n\backslash E_n)\leq2\frac{\epsilon}{4}/\frac{1}{2}=\epsilon\) ，从而可得到结论；
\(2)\Rightarrow 3)\) \(E^c\) 是可测集，所以存在开集 \(W\supset E^c\) 使得 \(m(W\backslash E^c)<\epsilon\) ，令 \(F=W^c\subset E\) ，注意到 \(m(W\backslash E^c)=m(F^c\cap E)=m(E\backslash F)<\epsilon\) ；
\(3)\Rightarrow1)\) 对于任意的 \(n\geq1\) ，存在闭集 \(F_n\subset E\) 使得 \(m(E\backslash F_n)<\frac{1}{n}\) ，令 \(F=\bigcup_{n\geq1}F_n\) ，可得 \(m(E\backslash F)\leq m(E\backslash F_n)<\frac{1}{n},\forall n\geq1\) ，所以 \(m(E\backslash F)=0\) ， \(E\backslash F\) 可测，所以 \(E=E\backslash F\cup F\) 可测.
这个命题相当有用，除了逼近之外，可以通过闭集和开集进行论证. 下面就用该命题证明一个重要结论，在上面用其说明任何一个可测集都存在一个不可测子集. check-mse
\(E\subset \mathbb{R}^n\) 证明： \(E\) 可测的充分必要条件为 \(\forall \epsilon>0\) 存在开集 \(G_1\subset E,G_2\subset E\) 使得 \(m(G_1\cap G_2)<\epsilon\) .
若 \(E\subset \mathbb{R}^n\) 可测并且 \(m(E)>0\) ，则存在 \(\delta>0\) ， \(B(0,\delta)\subset E-E\) .
证明：首先证明若 \(F\subset \mathbb{R}^n\) ， \(F\) 可测并且 \(F\) 是紧集，则存在 \(\delta>0,B(0,\delta)\subset F-F\) ，因为 \(F\) 可测所以存在开集 \(G\supset F\) 使得 \(m(G)<2m(F)\) ，并且 \(G^c\cap F=\emptyset\) ，令 \(\delta=d(G^c,F)>0\) （这里 \(\delta\) 严格大于 \(0\) ，因为两者都是闭集，否则可以构造 \(G^c\) 和 \(F\) 中的一个子列 \(\{g_n\}_{n\geq1},\{f_n\}_{n\geq1},\lim_{n\rightarrow \infty}d(g_n,f_n)=0\) ，并且 \(F\) （因为是 \(\mathbb{R}\) 上的紧集，所以序列紧. 见 GTopo#紧 ）存在收敛子列 \(\{f_{n_i}\}_{i\geq1},f_{n_i}\rightarrow f\in F(i\rightarrow \infty)\) 从而可得 \(\{g_{n_i}\}_{i\geq1}\) 收敛到 \(f\) ，再由闭集的定义可知 \(f\in G^c\) 矛盾！）.
断言：对任意 \(x\in \mathbb{R}^n:\lVert x\rVert<\delta\) 有 \(F_x\subset G\) ，否则，假设存在 \(x:\lVert x\rVert<\delta\) 存在 \(f\in F_x\cap G^c\) ，则 \(f=f'+x=g'\in G^c,f'\in F\) ，进而 \(d(G^c,F)\leq \lVert g'-f'\rVert=\lVert x\rVert<\delta\) ，矛盾！
现在已经有 \(F\subset G,F_x\subset G,\forall x:\lVert x\rVert<\delta\) ，所以 \(F\cup F_x\subset G\) ，如果 \(F\cap F_x= \emptyset\) ，则 \(m(G)\geq m(F\cup F_x)=2m(F)\) ，矛盾！所以 \(F\cap F_x\neq \emptyset\) . 对于任意的 \(x\in B(0,\delta),\lVert x\rVert<\delta\) ，所以存在 \(f\in F\cap F_x,f=f'+x\) ，所以 \(x=f-f'\in F-F\) . 所以 \(B(0,\delta)\subset F-F\) .
下面讨论一般的集合 \(E:m(E)>0\) ，截断： \(E=\bigcup_{n\geq1}B(0,n)\cap E\) ，则存在 \(G=B(0,m)\cap E\) ， \(m(G)>0\) ，存在闭集 \(F\subset G\) 使得 \(0<m(G)/2< m(F)\) （ \(m(G\backslash F)<m(F)\rightarrow 0<m(G)<2m(F)\)），注意到 \(F\) 为有界闭集，所以有上面的结论可知，存在 \(\delta>0\) ， \(B(0,\delta)\subset F-F\subset G-G\subset E-E\) .
定义 \(G_\delta\) 集： \(E\in G_\delta\Leftrightarrow\) \(E\) 能表示为可数个开集的交；定义 \(F_\delta\) 集： \(E\in F_\delta\Leftrightarrow\) \(E\) 能表示为可数个闭集的并；有如下推论：
\(E\) 可测等价于：1) \(\exists E\) 的 \(G_\sigma\) 集 \(G\) 使得 \(m^*(G-E)=0\) ；2) \(\exists E\) 的 \(F_\sigma\) 集 \(F\) 使得 \(m^*(E-F)=0\) .
Borel \(\sigma-\) 代数¶
设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的集族，考虑如下三条性质：
- \(\emptyset\in \mathcal{F}\) ；
- \(\mathcal{F}\) 对于补运算封闭；
- \(\mathcal{F}\) 对于有限并运算封闭；
如果 \(\mathcal{F}\) 满足以上三条性质，则称 \(\mathcal{F}\) 为代数；如果 \(\mathcal{F}\) 满足 1. 2. ，同时对可数并运算封闭（可以推出对有限并运算封闭），则称 \(\mathcal{F}\) 是 \(\sigma-\) 代数（可以证明 \(\sigma-\) 代数是代数）.
设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的子集族，记 \(A(\mathcal{F})\) 为包含 \(\mathcal{F}\) 的所有代数的交，为包含 \(\mathcal{F}\) 的最小代数；记 \(B(\mathcal{F})\) 为包含 \(\mathcal{F}\) 的所有 \(\sigma-\) 代数的交，称为由 \(\mathcal{F}\) 生成的 \(\sigma-\) 代数.
定义 Borel \(\sigma-\) 代数：由 \(\mathbb{R}\) 上的开区间全体生成的 \(\sigma-\) 代数，记为 \(\mathcal{B}\) 或 \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) ，并称 \(\mathcal{B}\) 中的元素为Borel 集.
因为 \(\mathbb{R}\) 上的开（闭）集都是至多可数个开（闭）区间的并（交），所以 \(\mathbb{R}\) 上的开集和闭集都是 Borel 集. 但是也存在既非开集也非闭集的 Borel 集，例如 \(U\cap V^c\) 其中 \(U,V\) 为开集并且 \(U\subset V\) .
而由 Lebesgue 可测集的性质可知其也为 \(\sigma-\) 代数，所以 \(\mathcal{B}\subset \Omega\) ，因此 Borel 集可测.
因为 \(\mathbb{R}\) 中的开区间是 Lebesgue 可测集，并且至多可数个可测集的并仍然可测，所以 \(\mathcal{B}\subset \Omega\) .
Borel \(\sigma-\) 代数是包含所有端点为有理数的开区间的最小 \(\sigma-\) 代数.
证明：显然 Borel \(\sigma-\) 代数为包含所有端点为有理数的开区间的 \(\sigma-\) 代数. 对于任意的 \(a,b\in \mathbb{R},a<b\) ，取 \(\{r_n\}_{n\geq1},\{R_n\}_{n\geq1}\subset \mathbb{Q}\) ，且 \(r_n\rightarrow a,R_n\rightarrow b,r_n<\frac{a+b}{2}<R_n\) . 从而可得 \((a,b)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(r_n,R_n)\) . 因此，任何包含所有端点为有理数的开区间的 \(\sigma-\) 代数都为所有开区间生成的 \(\sigma-\) 代数. 再由 \(\mathcal{B}\) 是由所有开区间生成的最小的 \(\sigma-\) 代数可得到结论.
任意多个 ( \(\sigma-\) ）代数的交仍然为（ \(\sigma-\) ）代数.
任意多个（ \(\sigma-\) ）代数的并不一定是（ \(\sigma-\) ）代数.
考虑 \(X=\{1,2,3\}\) ， \(\mathcal{F}_1=\{\emptyset,X,\{1\}\},\mathcal{F}_2=\{\emptyset,X,\{2,3\}\}\) ，则 \(\mathcal{F}_1\) 和 \(\mathcal{F}_2\) 均为（ \(\sigma-\) ）代数，但是 \(\mathcal{F}_1\cup \mathcal{F}_2\) 不是 ( \(\sigma-\) ）代数.
下面这个定理是为了进一步讨论非 Borel 集的可测集.
设 \(h\) 为 \(\mathbb{R}\) 上的严格单调连续函数，则 \(h\) 将 Borel 集映射为 Borel 集.
证明：令 \(\mathcal{B}^*=\{B:B,h(B)\text{ 均为 Borel 集}\}\) ，下面证明 \(\mathcal{B}^*=\mathcal{B}\) ，对于任意的 \(B\in \mathcal{B}^*\) ， \(B^c\in \mathcal{B}\) ，因为 \(h\) 是 \(\mathbb{R}\) 上的严格单调连续函数，所以 \(h(B^c)=h(\mathbb{R})-h(B)\) （事实上， \(h\) 保持并运算，首先有 \(h(\mathbb{R})=h(B^c\cup B)=h(B^c)\cup h(B)\) ，其次因为 \(h\) 是严格单调映射（是单射），所以 \(h(B^c)\cap h(B)=\emptyset\) ，所以 \(h(B^c)=h(\mathbb{R})-h(B)\) ）. 注意到 \(h(\mathbb{R})\) 和 \(h(B)\) 都是 Borel 集（前者是开区间），从而可得 \(h(B^c)\) 是 Borel 集. 所以 \(B^c\in \mathcal{B}^*\) . 设 \(\{B_n\}_{n\geq1}\subset \mathcal{B}^*\) ，则 \(h\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_n\right)=\bigcup_{n=1}^\infty h(B_n)\) ，所以 \(h\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_n\right)\in \mathcal{B}\) ，进而可知 \(h\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_n\right)\in \mathcal{B}^*\) ，所以 \(\mathcal{B}^*\) 是一个 \(\sigma-\) 代数. 此外因为 \(h\) 是 \(\mathbb{R}\) 上的严格单调连续函数，将开区间映射为开区间，所以开区间全体也在 \(\mathcal{B}^*\) 中. 所以 \(\mathcal{B}\subset \mathcal{B}^*\) ，并且 \(\mathcal{B}^*\supset \mathcal{B}\) ，所以 \(\mathcal{B}=\mathcal{B}^*\) .
已知 Borel 集都是可测集，但也存在不是 Borel 集的可测集：
考虑 GTopo#Cantor 集 上的 Cantor 函数 \(f\) ，其在 \([0,1]\) 上单调递增且连续. 令 \(g(x)=f(x)+x\) ，则 \(g\) 为 \([0,1]\) 上的严格单调递增函数，并且 \(g([0,1])=[0,2]\) . \(m\left(g\left(\bigcup_{n,k}I_{n,k}\right)\right)=\sum\limits_{n,k}^{}m(g(I_{n,k}))\) . 设 \(f(I_{n,k})=c_{n,k}\) ，则 \(g(I_{n,k})=c_{n,k}+I_{n,k}\) ，所以 \(m(g(I_{n,k}))=l(I_{n,k})\) （可测集平移测度不变），所以 \(m\left(g\left(\bigcup_{n,k}I_{n,k}\right)\right)=\sum\limits_{n,k}^{}l(I_{n,k})=1\) . 所以
因为 \(g(C)\) 是正测度集，所以可以构造 \(g(C)\) 的不可测子集 \(E\) ， \(g^{-1}(E)\subset C\) . 而 \(m^*(g^{-1}(E))\leq m^*(C)=0\) ，所以 \(g^{-1}(E)\) 可测. 如果 \(g^{-1}(E)\) 是 Borel 集，则由 \(g\) 是严格单调连续递增函数， \(E=g(g^{-1}(E))\) 也是 Borel 集，矛盾！
\(\mathbb{R}^n\) 中的 Lebesgue 测度和可测集¶
下面这个命题符合直观上的面积概念.
设 \(P\subset \mathbb{R}^n,Q\subset \mathbb{R}^m\) ，若 \(P,Q\) 可测，则 \(P\times Q\) 可测，并且 \(m(P\times Q)=m(P)m(Q)\).
证明：1) 若 \(P,Q\) 为 \(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m\) 中的长方体，则 \(P\times Q\) 可测，并且 \(m(P\times Q)=m(P)m(Q)\) ；2) 若 \(P,Q\) 分别为 \(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m\) 中的开集，则存在长方体集族 \(\{I_n^p\}_{n\geq1},\{I_n^q\}_{n\geq1}\) 其中 \(\{I_n^p\}_{n\geq1},\{I_n^q\}_{n\geq1}\) 中的元素分别两两不交， \(P\times Q=\bigcup_{n\geq1}I_n^p\times \bigcup_{n\geq1}I_n^q=\bigcup_{m\geq1}\bigcup_{n\geq1}I_m^p\times I_n^q\) 可测，并且 \(m(P\times Q)=\sum\limits_{m,n\geq1}^{}m(I_m^p\times I_n^q)=\sum\limits_{m\geq1}^{}m(I_m^p)\sum\limits_{n\geq1}^{}m(I_n^p)\) 从而可得结论；3) 若 \(P,Q\) 为一般可测集并且有限，为了证明 \(P\times Q\) ，试图说明对于任意的 \(\epsilon>0\) 存在 \(G_p\times G_q\supset P\times Q\supset F_p\times F_q\) ，其中 \(G_p\times G_q,F_p\times F_q\) 分别为开、闭集，满足 \(m(G_p\times G_q-F_p\times F_q)<\epsilon\) ，利用 Set#^ProductMinus 中的结论有：
而因为因为 \(P,Q\) 是可测集，所以对于任意的 \(\epsilon>0\) 存在 \(G_p\supset P\supset F_p,G_q\supset Q\supset F_q\) ，使得 \(m(G_p\backslash F_p)<\epsilon,m(G_q\backslash F_q)<\epsilon\) \(m(G_p)<m(P)+\epsilon_1,m(G_q)<m(Q)+\epsilon\) ，并且 \(G_p\backslash F_p,G_q\backslash F_q\) 均为开集，从而由 2) 的结论可得：
由 \(\epsilon\) 的任意性，并且 \(m(P),m(Q)<\infty\) ，可得 \(P\times Q\) 可测. 由上面得到的结论，对于任意的 \(\epsilon>0\) 存在 \(G_p,G_q\) ， \(m(G_p\times G_q)-m(P\times Q)\leq \epsilon\) ，从而：
再由 \(\epsilon\) 的任意性可得 \(m(P)m(Q)=m(P\times Q)\) ；4) 对于一般的可测集采取截断法：注意到 \(P=\bigcup_{k\geq1}P\cap[-k,k]^n\overset{def}{=}\bigcup_{k\geq1}P_k\) ，并且 \(m(P_k)<\infty\) 从而可得：> >
\(\(\begin{aligned}
m(P\times Q)&=m\left(\bigcup_{n\geq1}P_n\times Q_n\right)\\
&\overset{*}{=}\lim_{n\rightarrow \infty}m(P_n\times Q_n)\\
&=\lim_{n\rightarrow \infty}m(P_n) m(Q_n)\\
&\overset{*}{=}m(P)m(Q)
\end{aligned}\)\)
其中 \(\overset{*}{=}\) 的成立是因为 \(\{P_n\}_{n\geq1},\{Q_n\}_{n\geq1},\{P_n\times Q_n\}_{n\geq1}\) 是单调递增的有限可测集. RF#^MonotonousLimit .
可测函数¶
设 \(f:\mathbb{R}\cup\{\pm \infty\}\rightarrow \mathbb{R}\cup\{\pm \infty\}\) 的定义域为 \(D\) ， \(D\) 为可测集，如果 \(\forall \alpha\in \mathbb{R},\{x\in D:f(x)>\alpha\}\overset{def}{=}\{f>\alpha\}\) 是可测集，则称 \(f\) 为定义在 \(D\) 上的可测函数.
\(f\) 在 \(D\) 上可测， \(D_1\) 为 \(D\) 的可测子集，则 \(f\) 在 \(D_1\) 上可测.
\(\{x\in D_1:f>\alpha\}=\{f>\alpha\}\cap D_1\) 可测.
事实上，对于可测集 \(D\) ，只需要证明对于 \(\mathbb{R}\) 的一个稠子集 \(E\) ，对于任意的 \(\alpha\in E\) 有 \(\{f>\alpha\}\) 是可测集即可说明 \(f\) 是 \(D\) 上的可测函数：对于任意的 \(\alpha\notin \mathbb{R}\backslash E\) ，存在 \(\{\alpha_n\}_{n\ge1},\{\beta_n\}_{n\ge1}\subset E\) 并且 \(\alpha_n\rightarrow \alpha\) ，从而： \(\{f>\alpha\}=\bigcup_{n\ge1}\{f>\alpha_n\}\) .
📍 \(\forall \alpha\in E,\{f=\alpha\}\) 可测，其中 \(E\) 为 \(\mathbb{R}\) 的稠子集， \(f\) 不一定是可测函数.
证明：考虑 \(E=\mathbb{Q}\) ，取 \(\mathbb{R}\) 上的不可测子集 \(H\) ，并令：
则 \(\{f=\alpha\}=\emptyset\) 可测， \(\forall \alpha\in \mathbb{Q}\) ，但是 \(f\) 并不是可测函数： \(H=\{f>1.5\}\) 不可测.
常值函数是可测函数：若 \(f(x)\equiv c,\text{dom}(f)=D\) ，则 \(\{f>\alpha\}=\left\{\begin{aligned}&\emptyset,\alpha\geq c\\&D,\alpha<c\end{aligned}\right.\) .
定义在区间 \(D\) 上的连续函数是可测函数. 更一般地，可测集上的连续函数都可测.
证明：因为 \(f\) 连续，所以 \(\{f>\alpha\}=f^{-1}((\alpha,+\infty))\) 是开集，所以 \(\{f>\alpha\}\) 可测；对于一般的区间 \(D\) 注意到 \(\{x\in D^\circ:f(x)>\alpha\}\) 是可测的，并且 \(D\backslash D^\circ\) 至多只有两个点，因此也是可测的（RF#^AtMostZero），所以 \(D\) 可测.
📍 若 \(f(x)\) 沿着可测集 \(D\) 连续，则 \(f\) 在 \(D\) 上可测.
因为 \(f(x)\) 沿着可测集 \(D\) 连续，所以存在 \(\delta>0\) 使得 \(\forall x'\in B(x,\delta)\cap D\) 有 \(f(x')>\alpha\) （取 \(\epsilon=\lvert f(x)-\alpha\rvert\) ），考虑 \(G=\bigcup_{x':f(x')>\alpha}B(x,\delta)\cap D\) ，则有 \(G=\{x\in D:f>\alpha\}\) . 并且 \(G\) 为开集 \(\bigcup_{x':f(x')>\alpha}B(x,\delta)\) 与可测集 \(D\) 之并，所以可测.
沿着 \(D\) 连续和在 \(D\) 上连续的区别.
上面这道题目的伪证： \(\{x\in D:f>\alpha\}=f^{-1}((\alpha,+\infty))\cap D\) ，并且 \(f^{-1}((\alpha,+\infty))\) 为 \(\mathbb{R}\) 的中开集，进而可测，所以 \(\{x\in D:f>\alpha\}\) 为可测集，所以 \(f\) 在 \(D\) 上可测.
\(f\) 在 \(\mathbb{R}\) 上不连续；
如果 \(f\) 在 \(D\) 上连续的话那么对于 \(\{x\in D:f>\alpha\}\) 可以取得 \(\delta_x\) 使得 \(\{f>\alpha\}=\bigcup_{x':f(x')>\alpha}B(x',\delta_{x'})\) ，或者由连续的定义知 \(\{f>\alpha\}\) 开即可.
\(f\) 沿着 \(D\) 连续的意思是 \(\forall x\in D,\forall \epsilon>0,\exists \delta>0,\forall x'\in B(x,\delta)\cap D\) 有 \(\lvert f(x)-f(x')\rvert<\epsilon\) .
而 \(f\) 在 \(D\) 上连续则是对于 \(D\) 中的任意开集 \(G\) ， \(f^{-1}(G)\) 为开集. 而在度量空间上就有 \(\forall x\in D,\forall \epsilon>0,\exists \delta>0\) 使得 \(\forall x'\in B(x,\delta),|f(x)-f(x')|<\epsilon\) .
设 \(f\) 为可测集 \(D\) 上的可测函数，求证：对于任意开集 \(G\) 和闭集 \(F\) ， \(f^{-1}(G)\) 和 \(f^{-1}(F)\) 均为可测集.
证明：只需要证明开集情形， \(f^{-1}(F)=D\backslash f^{-1}(\mathbb{R}\backslash F)\) .
因为 \(G\) 是开集，所以存在一列不交开区间 \(\{I_n\}_{n\ge1},G=\bigcup_{n\ge1}I_n\) ，从而 \(f^{-1}(G)=\bigcup_{n\ge1}f^{-1}(I_n)\) 为可测集.
可测集的特征函数 \(\chi_D\) 可测： \(\{\chi_D>\alpha\}=\left\{\begin{aligned}&\emptyset,\alpha\geq1\\&D,0\leq \alpha<1\\&\mathbb{R},\alpha<0\end{aligned}\right.\) .
可测函数的定义不是唯一的，有下列等价定义：
等价命题： 1) \(f\) 在 \(D\) 上可测；2) \(\{f\geq \alpha\}\) 可测；3) \(\{f<\alpha\}\) 可测；4) \(\{f\leq \alpha\}\) 可测.
证明： \(1)\rightarrow 2)\) \(\{f\geq \alpha\}=\bigcap_{n\geq1}\{f>\alpha-\frac{1}{n}\}\) 可测； \(2)\rightarrow 3)\) \(\{f<\alpha\}=D-\{f\geq \alpha\}\) 可测； \(3)\rightarrow4)\) \(\{f\leq \alpha\}=\bigcap_{n\geq1}\{f<\alpha+\frac{1}{n}\}\) 可测； \(4)\rightarrow 1)\) \(\{f>\alpha\}=D-\{f\leq \alpha\}\) 可测.
据此可得若 \(f\) 为可测函数，则 \(-f\) 也为可测函数.
进一步有以下集合也可测：
- \(\{f=\lambda\}=\{f\geq \lambda\}-\{f>\lambda\},\lambda\in \mathbb{R}\) ，以及 \(\{f=-\infty\}=\cup_{n\geq1}\{f<-n\},\{f=\infty\}\) ；
- \(\{\alpha<(\leq)f<(\leq)\beta\}\) ， \(\alpha\in\mathbb{R}\cup -\infty,\beta\in \mathbb{R}\cup \infty\) ；
若 \(f,g\) 均为 \(D\) 上的可测函数，则下列集合为可测集，记 \(\mathbb{Q}=\{r_n\}_{n\geq1}\) ：
- \(\{f>g\}\) ：因为 \(\{f>g\}=\bigcup_{n\geq1}(\{f>r_n\}\cap \{g<r_n\})\) ，以及 \(\{f\geq g\}\)；进而可以得到 \(\max\{f,g\}=\{f\geq g\}\cup\{g>f\}\) 也是可测的；进而 \(f\) 的正部 \(\max\{f,0\}\) 和负部 \(\max\{-f,0\}\) 可测；从而 \(\lvert f\rvert=f^++f^{-}\) 也可测； ^fGreaterThanGMeasurable
- \(\{f=g\},\{f<(\leq)g\}\) ；从而可得 \(\min\{f,g\}\) 也是可测的；
注： \(\{f>g\}\) 是可测的这一命题很有用，在之后处理收敛一类的命题是可保证构造的集合是可测的，例如 #^Egoroff
\(f+g,f-g\) 也是 \(D'\) 上的可测函数：由 \(\{f+g>\alpha\}=\bigcup_{n=1}^\infty\{f>r_n\}\cap \{g>\alpha-r_n\}\) （证明：若 \(x\in \{f+g>\alpha\}\) ，则 \(\exists r_n\in \mathbb{Q},f(x)>r_n>\alpha-g(x)\) ，并且 \(g(x)>\alpha-r_n\) ，另一方面显然），注意为保持定义的合理性（广义实数没有定义 \(-\infty+\infty\) ） \(f+g\) 的定义域为 \(D-(\{f=-\infty\}\cap\{g=+\infty\})-(\{f=+\infty\}\cap\{g=-\infty\})\) ； ^fAddGMeasurable
若 \(\{f_n\}_{n\geq1}\) 是可测函数，则 \(\{\sup_{n\geq1}f_n>\alpha\}=\bigcup_{n=1}^\infty\{f_n>\alpha\}\) ， \(\{\inf_{n\geq1}f_n<\alpha\}=\bigcup_{n=1}^\infty \{f_n<\alpha\}\) ；从而 \(\varlimsup_{n\rightarrow \infty}f_n(x)=\inf_{n\geq1}\sup_{k\geq n}f_k(x)\) ， \(\varliminf_{n\rightarrow \infty}f_n(x)=\sup_{n\geq1}\inf_{n\geq n}f_k(x)\) \(\sup f_n,\inf f_n,\varlimsup f_n,\varliminf f_n\) 均为可测函数. 若 \(\{f_n\}\) 存在极限，则 \(\lim_{n\rightarrow \infty}f_n\) 也为可测函数.
如果 \(f\) 在 \(\mathbb{R}\) 上是可微函数，则 \(f'\) 可测.
因为 \(f\) 可微，所以 \(f\in C(\mathbb{R})\) ，从而 \(f\) 可测；
\(f_n(x)=\frac{f(x+1/n)-f(x)}{1/n}\) 可测，所以 \(f'=\lim_{n\rightarrow \infty}f_n\) 可测.
以上，证明一个函数是可测函数可以找一处处收敛于该函数的可测函数列（i.e. 连续函数、简单函数）.
比如 \(f+g\) 是可测的，就可以从存在 \(f_n\rightarrow f,g_n\rightarrow g\) ，从而 \(f_n+g_n\rightarrow f+g(n\rightarrow \infty)\) ，并且 \(f_n+g_n\) 为简单函数.
📍 设 \(\{f_n\}_{n\ge1}\) 是可测集 \(D\) 上的可测函数列，求证： \(D\) 中使得 \(\{f_n\}_{n\ge1}\) 收敛的点 \(x\) 全体是可测集.
证明： \(\{f_n\}_{n\ge1}\) 可测 \(\Rightarrow\) \(\varliminf_{n\rightarrow \infty}f_n,\varlimsup_{n\rightarrow \infty}f_n\) 可测，从而 \(\{\varliminf_{n\rightarrow \infty}f_n=\varlimsup_{n\rightarrow \infty}f_n\}\) 可测.
📍 \(f\) 是可测集 \(D\) 上的可测函数， \(m(\{f>\alpha\})\) 为 \(\alpha\) 的右连续函数， \(m(\{f<\alpha\})\) 为 \(\alpha\) 的左连续函数；进一步， \(m(\{f\geq \alpha\})\) 为 \(\alpha\) 的左连续函数， \(m(\{f\leq \alpha\}\) 为 \(\alpha\) 的右连续函数.
证明：令 \(g(\alpha)=m(\{f>\alpha\})\) ，则 \(g(\alpha+1/n)=g(\alpha)-m(\{1/n+\alpha\geq f>\alpha\})\) . 注意到集列 \(\{1/n+\alpha\geq f>\alpha\}_{n\geq1}\) 单调递减并且不妨设 \(m(1+\alpha\geq f>\alpha)\) 有限（否则 \(m\{f>\alpha+1/n\}=m\{f>\alpha\}\equiv\infty\) ），所以：
由 \(g\) 单调，所以 \(g\) 关于 \(\alpha\) 右连续，同理可得 \(m(\{f<\alpha\})\) 关于 \(\alpha\) 左连续.
另一方面，若 \(D\) 为有限集，令 \(g(\alpha)=m(\{f\geq \alpha\})\) ，则：
又 \(g(\alpha)\) 单调，所以 \(g(\alpha)\) 关于 \(\alpha\) 左连续，同理可得另一个；
如果对于任意 \([\alpha,\beta]\subset (a,b)\) ， \(f(x)\) 在 \([\alpha,\beta]\) 上可测，则 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 上可测.
证明：由题可知，对于任意的 \(a\in \mathbb{R}\) ， \(\{x\in[a-1/n,b+1/n]:f(x)>a\}\) 为可测集，进而可得 \(\{x\in(a,b):f(x)>a\}=\bigcup_{n\geq1}\{x\in[a-1/n,b+1/n]:f(x)>a\}\) 可测. 所以 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 上可测.
📍 设 \(f\) 定义在可测集 \(D\) 上，如果 \(f^2\) 在 \(D\) 上可测并且 \(\{f>0\}\) 是可测集，求证： \(f\) 在 \(D\) 上可测.
证明：因为 \(f^2\) 在 \(D\) 上可测并且 \(\{f>0\}\) 是可测集，注意到 \(f=\lvert f\rvert(\chi_{\{f>0\}}-\chi_{\{f\leq 0\}})\) ，并且 \(\lvert f\rvert\) 是可测的，所以 \(f\) 可测.
设 \([0,1]\) 上的可测函数 \(f\) 几乎处处有限，证明存在实数 \(\alpha_0\) 使得 \(m(\{f\ge \alpha_0\})\ge \frac{1}{2},m(\{f\leq \alpha_0\})\ge \frac{1}{2}\) .
证明：由反证知存在 \(a_0\) 使得 \(m(\{f\ge a_0\})\ge \frac{1}{2}\) ，以及 \(b_0\) 使得 \(m(\{f\leq b_0\})\ge \frac{1}{2}\) ，不妨设 \(a_0<b_0\) ，取 \(\frac{a_0+b_0}{2}\) ，利用闭区间套定理得到结论.
定义几乎处处成立：若 \(D-E=\{x\in D:P(x)\}\) ，其中 \(E\subset D\) 为一零测集，则称性质 \(P(x)\) 在 \(D\) 上几乎处处成立，记为 \(P(x)\ a.e.\ x\in D\) .
\(\sin x\) 在 \(\mathbb{R}\) 上几乎处处非 \(0\) ， \(\sin^nx\) 在 \(\mathbb{R}\) 上几乎处处收敛于 \(0\) .
\(\chi_\mathbb{Q}\) 在 \(\mathbb{R}\) 上几乎处处为 \(0\) （由 \(m(\mathbb{Q})=0\) ）.
定义简单函数：设 \(f\) 为可测集 \(D\) 上的一个可测函数，若 \(f(D)=\{a_1,\cdots,a_n\},n<\infty\) ，则称 \(f\) 为 \(D\) 上的简单函数；
若令 \(E_k=\{f=a_k\},1\leq k\leq n\) 则 \(E_k\) 为可测集并且 \(f=\sum\limits_{1\leq k\leq n}^{}a_k\chi_{E_k}\) . 并且 \(\forall \lambda\in \mathbb{R}\) ， \(\lambda f,\lvert f\rvert,f^+,f^-\) 也是简单函数，若 \(g\) 为简单函数，则 \(g\pm f,\max(\min)\{f,g\},fg\) 也为简单函数. 显然：
简单函数是可测函数.
反之，若 \(f=\sum\limits_{k=1}^{n}a_k\chi_{E_k}\) 并且 \(E_k\) 为两两不交的可测集，则 \(f\) 为 \(D\) 上的简单函数.
下面这个定理说明任何一个可测函数都可以由简单函数逼近. 进而，因为非负简单函数是可积的，通过适当的定义可以使得可测函数可积.
设 \(f\) 为可测集 \(D\) 上的可测函数，则存在 \(D\) 上的简单函数列 \(\{f_n\}_{n\geq1}\) 逐点收敛到 \(f(x)\) . 并且： 1) 当 \(f\geq0\) 时，存在逐点单调递增的函数列 \(\{f_n\}_{n\geq1}\) 收敛到 \(f\) ；2) 当 \(f\) 有界时，存在函数列 \(\{f_n\}_{n\geq1}\) 一致收敛到 \(f\) .
证明：令：
对任意 \(x\in D\) ，若 \(f(x)=(-)\infty\) ，则 \(f_n(x)=(-)n\) ，从而 \(f_n\rightarrow f(n\rightarrow \infty)\) ；若 \(f(x)\in \mathbb{R}\) 则 \(\lvert f_n-f\rvert\leq \frac{1}{2^n}\) ，从而 \(f_n\rightarrow f(n\rightarrow \infty)\) .
若 \(f\geq0\) ， \(\forall x\in D\) ，若 \(f(x)=\infty\) ，则 \(f_n(x)=n\) ， \(\{f_n\}_{n\geq1}\) 单调递增；若 \(f(x)<\infty\) ，则存在 \(k\in \mathbb{N},k\leq f(x)<k+1\) ，分成两段对于 \(f_n\) 讨论，当 \(n\leq k\) 时 \(f_n(x)=n\) 递增，当 \(n>k\) 时，显然 \(f_n>f_k\) ，且对于任意的 \(n>k\) ，存在 \(k_n\) 使得：
如果 \(f(x)\in\left[\frac{2k_n-2}{2^{n+1}},\frac{2k_n-1}{2^{n+1}}\right)\) ，由 \(-(n+1)2^{n+1}+1=-n2^{n+1}\leq2k_n-2\leq n2^{n+1}-2\leq (n+1)2^{n+1}\) ，可得 \(f_{n+1}(x)=\frac{2k_n-2}{2^{n+1}}\) ，从而 \(f_{n+1}(x)=f_n(x)\) ，若 \(f(x)\in \left[\frac{2k_n-1}{2^{n+1}},\frac{2k_n}{2^{n+1}}\right)\) ，同理可验证 \(f_{n+1}(x)>f_n(x)\) ，所以 \(\{f_n\}_{n\geq1}\) 单调递增；
若 \(f\) 有界，设 \(\lvert f\rvert<M\) ，则当 \(n>M\) 时，因为 \(\{f\geq n\}=\emptyset=\{f<-n\}\) ，所以 \(\lvert f_n-f\rvert<\frac{1}{2^n}\) ，从而 \(\{f_n\}_{n\geq 1}\) 一致收敛于 \(f\) .
^SimpleConverge
据此，根据 \(\lim_{n\rightarrow \infty}f_n\) 仍可测，可以从有收敛的简单函数列证明：若 \(f,g\) 为可测集 \(D\) 上的可测函数， \(\forall \lambda\in \mathbb{R}\) ， \(\lambda f,\lvert f\rvert,fg\) 均为可测函数.
设 \(f(x_1,x_2)\in C(\mathbb{R}^2)\) ， \(g_1(t),g_2(t)\) 为 \([a,b]\) 上的实值可测函数，求证： \(f(g_1(t),g_2(t))\) 为 \([a,b]\) 上的可测函数.
证明：存在简单函数列 \(\{g_{1,n}\}_{n\geq1},\{g_{2,n}\}_{n\geq1}\) 分别逐点收敛到 \(g_1,g_2\) ，又 \(f\in C(\mathbb{R}^2)\) ，所以 \(f(g_{1,n},g_{2,n})\) 逐点收敛到 \(g_1,g_2\) 并且 \(f(g_{1,n},g_{2,n})\) 为简单函数，所以 \(f(g_1,g_2)\) 为 \([a,b]\) 上的可测函数.
其中，关于 \(f(g_{1,n},g_{2,n})\) 为可测函数：首先 \(f(g_{1,n},g_{2,n})\) 只能取有限值，不妨记为 \(\{a_1,\cdots,a_n\}\) ，并且 \(f(g_{1,n},g_{2,n})=a_i\) ，则存在有限个值 \(\{b_{1,1},\cdots,b_{1,n_1}\}\) 和 \(\{b_{2,1},\cdots,b_{2,n_2}\}\) 作为 \(g_{1,n},g_{2,n}\) 的取值，因此 \(\{f(g_{1,n},g_{2,n})=\bigcup_{i=1}^{n_1}D_{1,i}\cup \bigcup_{i=1}^{n_2}D_{2,i}\) 为可测集. 证明是简单函数并不要求 \(f\) 连续.
利用这一结论可以从 \(\mathbb{R}\) 得到 \(\mathbb{R}^2\) 上的可测函数.
设 \(f,g\) 都在 \(\mathbb{R}\) 上可测，求证： \(f(x)g(y)\) 在 \(\mathbb{R}^2\) 上可测.
证明： \(h(x,y)=xy\in \mathbb{R}^2\) ，进而 \(h(f,g)\) 可测.
约定
以下，若 \(f\) 在 \(D-E\) 上可测， \(m(E)=0\) ，则无论 \(f\) 在 \(E\) 上是否有定义，均称 \(f\) 在 \(D\) 上可测. 在这个约定下，如果使 \(f+g\) 无意义（e.g. \(f=-\infty,g=\infty\) ）的点全体为零测集，则可以忽略. 以上只是约定.
由上定理可得推论：
可测函数列几乎处处收敛的极限是可测的.
证明：设可测函数列 \(\{f_n\}_{n\geq1}\) 在 \(D-E\) 上收敛于 \(f\) ， \(m(E)=0\) ，则对于任意的 \(\epsilon>0\) ，存在 \(N,\forall n>N\) ， \(\lvert f_n-f\rvert<\frac{\epsilon}{2}\) ，并且由 \(f_n\) 可测，所以存在简单函数 \(f_n'\) ， \(\lvert f_n'-f_n\rvert<\frac{\epsilon}{2}\) ，所以 \(\lvert f_n'-f\rvert<\epsilon\) ，所以简单函数列 \(\{f_n'\}_{n\geq N}\) 在 \(D-E\) 上逐点收敛到 \(f\) ，所以 \(f\) 可测.
连续函数逼近可测函数¶
在上面已经有了一个定理：任何一个可测函数都存在逐点收敛于其本身的简单函数列. #^SimpleConverge ，下面讨论用连续函数逼近可测函数，证明路线是 #^Egoroff 定理，延拓定理 #^Expand ，再到最后的结论 #^Lusin 定理.
下面这个定理说明了几乎处处收敛的几乎处处有限的可测函数列可以几乎没有损失地加强为一致收敛.
Egoroff 定理：设 \(f,f_n(n\geq1)\) 都是有限可测集 \(D\) 上的几乎处处有限的可测函数，如果 \(f_n\) 在 \(D\) 上几乎处处收敛于 \(f\) ，则对于任意的 \(\epsilon>0\) ，存在 \(D\) 的闭子集 \(F\) ， \(m(D-F)<\epsilon\) 并且 \(f_n\) 在 \(F\) 上一致收敛于 \(f\) .
^Egoroff
分析：首先证明存在可测集 \(E\) 使得 \(m(D-E)<\frac{\epsilon}{2}\) ，然后利用 #开闭集逼近可测集证明存在 \(F\) 使得 \(m(D-F)<\epsilon\) .
为了解决这一问题，刻画 \(f_n\) 一致收敛于 \(f\) ，并且需要先后得到集合 \(E,F\) .
证明：首先刨去几乎处处之外的集合，令 \(D_1=D_1^1\cap D_2^2\) ，其中 \(D_1^1\) 为 \(f_n,f\) 有限的集合， \(D_1^2\) 为 \(f_n\) 收敛于 \(f\) 的集合.
进而可知 \(m(D-D_1)\leq m(D\backslash D_1^1)+m(D\backslash D_1^2)=0\) （因为 \(D-D_1=D\cap(D_1^1\cap D_1^2)^c=(D_1\backslash D_1^1)\cup (D_1\backslash D_1^2)\) ），所以 \(m(D_1)=m(D)\) ，只需要构造 \(E\subset D_1\) 使得 \(m(D_1-E)<\frac{\epsilon}{2}\) ，则由 \(D-E\subset (D-D_1)\cup (D_1-E)\) 即可得到 \(m(D-E)<\frac{\epsilon}{2}\) .
令
由 \(f_k,k\) 可测易证 \(A_n^r\) 是可测集，并且
由 \(D_1\) 的定义可知 \(D_1=\bigcup_{n\geq1}A_n^r\) ，事实上， \(D_1\) 中的任意一点 \(x\) 都在 \(\bigcap_{r\ge1}\bigcup_{n\ge1}\bigcap_{k\ge n}\{|f_k-f|<1/r\}\) 中. 并且 \(\{A_n^r\}_{n\geq1}\) 单调递增，所以由 #^MonotonousLimit 可知 \(m(\lim_{n\rightarrow \infty}A_n^r)=m(D_1)=\lim_{n\rightarrow \infty}m(A_n^r)\) .
（下面，即为构造 \(E:(D_1-E)<\epsilon\) ，利用已经有的条件不难有下面的思路）
对于任意的 \(\epsilon>0\) 和给定的 \(r\) ，存在 \(n_r\) 使得 \(m(D_1-A^r_{n_r})<\epsilon/2^{r+1}\) .
考虑集合 \(E=\bigcap_{r\geq1}A_{n_r}^r\) ，对于任意的 \(\epsilon'>0\) ，存在 \(r_0\geq 1\) ， \(\frac{1}{r_0}<\epsilon'\) ，对任意的 \(x\in E\) 由 \(A_n^r\) 的定义可知，存在 \(n_{r_1}\) 使得 \(\forall k>n_{r_1}(\forall x\in E,\lvert f_k(x)-f(x)\rvert<\frac{1}{r_1})\) ，取 \(r_2=\max\{r_0,r_1\}\) 可得对于任意的 \(k>n_{r_2}\) 有 \(\forall x\in E,\lvert f_k(x)-f(x)\rvert<\epsilon'\) ，所以 \(\{f_n\}_{n\geq1}\) 在 \(E\) 上一致收敛于 \(f\) .
因为 \(E\) 是可测集，所以存在闭集 \(F\subset E\) ， \(m(E\backslash F)<\epsilon/2\) ，从而：
从而可得结论.
用 Egoroff 定理证明： \(\{f_n\}_{n\ge1}\) 为 \([a,b]\rightarrow \mathbb{R}\) 上一列可测函数，逐点收敛于 \(f\) ，如果存在 \(C\in \mathbb{R}^+\) 使得 \(\lvert f_k\rvert\leq C\) ，证明： \(\lim_{k\rightarrow \infty}\int_{[a,b]}f_kdx=\int_{[a,b]}fdx\) .
由题可知 \(f=\lim_{n\rightarrow \infty}f_n\) 可测，则对于任意的 \(\epsilon>0\) 存在 \([a,b]\) 上的的闭子集 \(E\) 使得： \(m([a,b]\backslash E)<\epsilon/A\) ， \(A\) 待定. \(f_n\) 在 \(E\) 上一致收敛于 \(f\) ，从而：
取 \(A=4C\) ，再由 \(m(E)<\infty\) 可得结论.
Egoroff 定理的逆命题也成立.
证明：对于任意的 \(k\geq1\) ，存在 \(D\) 的闭子集 \(F_k\) 使得 \(m(D-F_k)\leq \frac{1}{k}\) 并且 \(f_n\) 在 \(F\) 上一致收敛于 \(f\) . 令 \(F=\bigcup_{k\geq1}F_k\) ，则 \(m(D-F)=m\left(\bigcap_{k\geq1}D-F_k\right)\leq \frac{1}{k}\) ，所以 \(m(D-F)=0\) . 并且对于任意的 \(x\in F\) ，存在 \(F_{k_0}\ni x\) ， \(f_n\) 在 \(F_{k_0}\) 上一致收敛于 \(f\) ，从而 \(\{f_n(x)\}_{n\geq1}\) 收敛到 \(f(x)\) .
在满足 Egoroff 定理的条件下，即使存在 \(D\) 的子集 \(F\) 使得 \(m(D-F)=0\) 也不能保证 \(f_n\) 在 \(F\) 上一致收敛于 \(f\) .
例如，对于 \(f_n(x)=x^n,x\in[0,1]\) ，注意到 \(\{f_n\}_{n\geq1}\) 在 \([0,1)\) 上并不一致收敛于 \(0\) （而在 \([0,1-\delta)\) 上一致收敛）
\(m(D)=\infty\) 时 Egoroff 定理不一定成立.
考虑 \(D=\mathbb{R}\) ， \(f_n=\chi_{[n,+\infty)}\) ，注意到 \(f_n\) 逐点收敛到 \(f=0\) ，而不存在闭集 \(F\) 满足 \(m(D-F)<1\) 使得 \(f_n\) 在 \(F\) 上一致收敛于 \(f=0\) . （ \(\forall N\in \mathbb{N},\exists n_0>N\) ，\(\lvert f_{n_0}-f\rvert=1,\forall x\in[n_0,+\infty)\) ）
延拓定理：设 \(F\subset \mathbb{R}\) 为闭集， \(f\) 沿着 \(F\) 连续，则 \(f\) 可以延拓为 \(\mathbb{R}\) 上的连续函数 \(f^*\) 并且 \(\sup_{x\in \mathbb{R}}\lvert f^*(x)\rvert=\sup_{x\in \mathbb{F}}\lvert f(x)\rvert\) .
证明：对 \(F^c\) 进行函数定义即可，由 \(F^c\) 是开集，存在两两不交开区间列 \(\{(a_n,b_n)\}_{n\geq1}\) ，令 \(f^*(x)=f(x),x\in F\) ，对于每一个开区间 \((a_n,b_n)\) ，如果 \((a_n,b_n)\) 有界，则定义在 \([a_n,b_n]\) 上的连续函数（线性函数即可）并满足 \(\lvert f^*\rvert\leq \sup_{x\in F}\lvert f(x)\rvert\) ；如果 \((a_n,b_n)\) 无界（即 \(a_n=-\infty\) 或者 \(b_n=\infty\) ）则将 \((-\infty,b_n]\) 上的函数值定义为 \(f(b_n)\) ， \([a_n,+\infty)\) 上的函数值定义为 \(f(a_n)\) 即可.
下面来证明 \(f^*\) 在 \(\mathbb{R}\) 上连续，首先对于任意的 \(x\in F^c\) ，存在 \(F^c\) 的一个构成区间包含 \(x\) ，因此连续是显然的；对于任意的 \(x\in F\) ，由 \(f\) 在 \(F\) 上连续， \(\forall \epsilon>0,\exists \delta>0,\forall y\in V(x,\delta)\cap F\) 有 \(\lvert f(x)-f(y)\rvert<\epsilon\) .
证明 \(\lim_{y\rightarrow x+}f^*(y)=f^*(x)\) 另一半同理. 如果 \((x,x+\delta)\cap F=\emptyset\) ，则 \((x,x+\delta)\subset F^c\) ，进而 \((x,x+\delta)\) 包含在 \(F^c\) 的一个构成区间中，因此 \(f^*\) 在 \([x,x+\delta]\) 上是线性函数，所以有 \(\lim_{y\rightarrow x^+}f^*(y)=f^*(x)\) ；如果 \((x,x+\delta)\cap F\neq \emptyset\) ，则设 \(x'\in (x,x+\delta)\cap F\) ，令 \(\eta=x'-x\) ，对于任意的 \(y\in(x,x+\eta)\) ，若 \(y\in F\) ，则 \(|f^*(y)-f^*(x)|=\lvert f(y)-f(x)\rvert<\epsilon\) ，如果 \(y\notin F\) ，则存在 \(F^c\) 的构成区间 \((x_1,x_2),x_1,x_2\in F,x_1\geq x\) ，并且 \(f^*\) 在 \((x_1,x_2)\) 上是线性函数，所以存在 \(c_1,c_2\in[0,1],f^*(x)=c_1f^*(x_1)+c_2f^*(x_2),c_1+c_2=1\) ，因此 \(\lvert f^*(y)-f^*(x)\rvert=\lvert c_1f^*(x_1)+c_2f^*(x_2)-f^*(x)\rvert\leq \epsilon\) ，所以 \(\lim_{y\rightarrow x^+}f^*(y)=f^*(x)\) .
^Expand
以下这个定理说明了可测集 \(D\) 上的可测函数都可以由一个连续函数逼近（但不是 \(a.e\) ）
Lusin：设 \(f\) 是可测集 \(D\) 上的几乎处处有限的可测函数，则对于任意 \(\epsilon>0\) ，存在沿着 \(D\) 连续的函数 \(f^*\) 使得 \(m(\{f\neq f^*\})<\epsilon\) ，并且 \(\sup_{x\in D}\lvert f^*(x)\rvert\leq \sup_{x\in D}\lvert f(x)\rvert\) .
^Lusin
为了证明这一定理， \((1)\) 用简单函数逼近可测函数， \((2)\) 利用 Egoroff 定理将收敛在闭集上加强为一致收敛， \((3)\) 然后利用一致收敛的连续函数的极限仍然连续，进而 \((4)\) 将沿闭集连续的函数其开拓为沿着 \(D\) 的连续函数 \(f^*\) ，从而证明定理.
\(D\) 为有界可测集：
（数学分析）设 \(F\) 是一紧集， \(\{f_n\}_{n\ge1}\) 为一列沿着 \(F\) 连续的函数，如果 \(\{f_n\}_{n\ge1}\) 在 \(F\) 上一致收敛于 \(f\) ，则 \(f\) 也沿着 \(F\) 连续.
设 \(f\) 是可测集 \(D\) 上的简单函数，则 \(\forall \epsilon>0\) 存在沿着 \(D\) 连续的函数 \(f^*\) 使得 \(m(\{f\neq f^*\})<\epsilon\) .
\(D\) 为一般可测集：
Lusin 定理推论：设 \(f\) 为 \([a,b]\) 上的几乎处处有限的可测函数，则 \(\forall \epsilon>0\) ，存在 \([a,b]\) 上的连续函数 \(f^*\) 使得 \(m(\{f\neq f^*\})<\epsilon\) 且 \(\max\{|f^*|\}\leq \sup\{|f|\}\) .
依测度收敛¶
在实数域中，处处收敛是建立在欧式距离上的. 类似地可以定义对于可测函数列全体定义度量：依测度收敛.
设 \(\{f_n\}_{n\geq1},f\) 为可测集 \(D\) 上的几乎处处有限的可测函数列，称 \(\{f_n\}_{n\geq1}\) 依测度收敛于 \(f\) ，如果对于任意的 \(\delta>0\) ， \(\lim_{n\rightarrow \infty}m(\{\lvert f_n-f\rvert\geq\delta\})=0\) . 注：用 \(f_n\Rightarrow f\) 表示 \(f_n\) 依测度收敛于 \(f\) ，区别于 \(f_n\rightarrow f\) .
依测度收敛要求函数列和函数都是可测函数.
如果 \(D_1\) 为 \(D\) 的可测子集， \(f_k\Rightarrow f\) ，则在 \(D_1\) 上 \(f_k\Rightarrow f\) .
依测度收敛等价定义：对于任意的 \(\delta>0\) ，存在 \(N\in \mathbb{N}\) ，对任意 \(n>N\) ， \(m(\{\lvert f_n-f\rvert\geq \delta\})<\delta\) .
证明：以上两个定义分别记为 1) 2)； \(1)\Rightarrow 2)\) 显然； \(2)\Rightarrow1)\) ：注意到 \(\{\lvert f_n-f\rvert\geq \delta\}\subset \{\lvert f_n-f\rvert\geq \epsilon\},\forall \epsilon<\delta\) ，因此对于任意的 \(\delta>0\) 对于任意的 \(\delta>\epsilon>0\) ：
从而可得结论.
设 \(\{f_k\}_{k\geq1}\) 为 \([0,1]\) 上的一列实值可测函数，如果 \(\frac{\lvert f_k(x)\rvert}{1+\lvert f_k(x)\rvert}\rightarrow 0,a.e.\) 证明： \(f_k\Rightarrow 0\) ，反之是否成立.
证明：因为 \(\{f_k\}_k\) 可测，所以 \(\frac{\lvert f_k(x)\rvert}{1+\lvert f_k(x)\rvert}\) 是可测函数，因为 \(\frac{\lvert f_k(x)\rvert}{1+\lvert f_k(x)\rvert}\rightarrow0\) 并且 \(m([0,1])<\infty\) 所以 \(\frac{\lvert f_k(x)\rvert}{1+\lvert f_k(x)\rvert}\Rightarrow0\) ，对于任意的 \(\delta>0\) ，存在 \(\delta'>0\) 使得 \(\frac{1}{\delta}+1<\frac{1}{\delta'}\) ，从而可得 \(\frac{1}{\frac{1}{\delta'}-1}<\delta\) ，从而：
从而可得 \(m(\{\lvert f_k\rvert>\delta\})\rightarrow0(k\rightarrow \infty)\) ，所以 \(f_k\Rightarrow0\) .
反之，对于任意的 \(\delta'>0\) ，取得 \(\delta\) 满足： \(\frac{1}{\delta}+1>\frac{1}{\delta'}\) 即可，类似可得证. #issue %%是否正确？%%
测度收敛 \(\not\Rightarrow\) 处处收敛.
考虑定义在可测集 \([0,1]\) 上的可测函数列 \(f_{n+k}=\chi_{I_{n,k}}\) 可测函数 \(f=0\) ，其中 \(I_{n,k}=\left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right],1\leq k\leq n\) （特征函数是简单函数因而可测）. 并且对于 \(\delta=\frac{1}{2}\) ， 由 \(\{|\chi_{I_{n,k}}-0|\geq \delta\}=I_{n,k}\) 可知 \(\lim_{n\rightarrow \infty}m(\{\lvert f_n-f\rvert\})=0\) . 然而对于任意的 \(x\in[0,1]\) ，对于任意的 \(N\) 都存在 \(n\) 使得 \(f_{n}(x)-f(x)=1\) ，因而 \(\{f_n\}_{n\geq1}\) 在任何一点都不收敛于 \(f\) .
处处收敛 \(\not\Rightarrow\) 测度收敛.
设 \(\mathbb{R}\) 上的可测函数列 \(\{f_n\}_{n\geq1}\) ， \(f=0\) ， \(f_n=\chi_{[n,+\infty)}\) ，则 \(\{f_n\}_{n\geq1}\) 处处收敛于 \(f\) ，而对 \(\delta=\frac{1}{2}\) ， \(\{\lvert f_n-f\rvert>\delta\}=[n,+\infty)\) ，因而不测度收敛.
下面这个定理说明了测度收敛和处处收敛之间的关系.
Riesz：设 \(f,f_n(n\geq1)\) 均为可测集 \(D\) 上几乎处处有限的可测函数，则： 1) 若 \(f_n\) 依测度收敛于 \(f\) ， \(\{f_n\}_{n\geq1}\) 中必然有子列几乎处处收敛于 \(f\) ；2) 若 \(m(D)<\infty\) 并且 \(f_n\) 几乎处处收敛于 \(f\) ，则 \(f_n\) 依测度收敛于 \(f\) .
在可测集 \(D\) 上有 \(f_k\Rightarrow f,g_k\Rightarrow g\) 证明： \(m(D)<\infty\) 时有 \(f_kg_k\Rightarrow fg\) .
证明：假设存在 \(\delta>0\) ，存在 \(\epsilon>0\) 使得对于任意的 \(k\ge 1\) 存在 \(n_k>k\) 使得 \(m(\{\lvert f_{n_k}g_{n_k}-fg\rvert>\delta\})>\epsilon\) ，对于 \(\{f_{n_k}\}_{k\ge1},\{g_{n_k}\}_{k\ge1}\) ，由 \(f_k\Rightarrow f,g_k\Rightarrow g\) ，存在子列 \(\{f_{n_{k_l}}\}_{l\ge1},\{g_{n_{k_l}}\}_{l\ge1}\) 几乎处处收敛于 \(f,g\) ，由 \(m(D)<\infty\) 可知该子列 \(\Rightarrow f,\Rightarrow g\) 矛盾！
对上例， \(m(D)=\infty\) 下 \(f_kg_k\Rightarrow fg\) 不一定成立.
\(f_k=g_k=x+\frac{1}{n}\)
设在 \([a,b]\) 上 \(f_k\) 依测度收敛于 \(f\) ， \(g\in C(\mathbb{R})\) ，证明 \(g\circ f_k\Rightarrow g\circ f\) .
证明：假设 \(g\circ f_k\not\Rightarrow g\circ f\) ，则存在子列 \(\{f_{k_l}\},\epsilon_{0},\delta_0\) 使得 \(m(\lvert g\circ f_{k_l}-g\circ f\rvert>\delta_0)\geq \epsilon_0\) ，由 Riesz 定理不妨设子列 \(\{f_{k_l}\}\) 收敛于 \(f\) . 因为 \(g\in C(\mathbb{R})\) ，所以 \(g\circ f_{l_k}\) 几乎处处收敛于 \(g\circ f\) ，并且 \(m([a,b])<\infty\) ，所以又由 Riesz 定理可知 \(g\circ f_{k_l}\) 依测度收敛于 \(g\circ f\) ，矛盾！
设 \(\{D_k\}_{k\geq1}\) 为可测集列， \(\sum\limits_{k=1}^{\infty}m(D_k)<\infty\) ，如果 \(\{f_p\}_{p\geq1}\) 在 \(D_k\) 上测度收敛，证明 \(\{f_p\}_{p\geq1}\) 在 \(D=\bigcup_{k\geq1}D_k\) 上测度收敛.
证明：设 \(\{f_p\}_{p\geq1}\) 在 \(D_k\) 上测度收敛于 \(f^k\) ，若 \(D_i\cap D_j\neq\emptyset\) ，则可知 \(\{f_p\}_{p\geq1}\) 在 \(D_i,D_j\) 上分别测度收敛于 \(f^i,f^j\) ，进而存在子列 \(\{f_{p_n}\}_{n\geq1}\) 几乎处处收敛于 \(f^i\) ，同时该子列也测度收敛于 \(f^i\) ，因此有子列 \(\{f_{p_{n_l}}\}_{l\geq1}\) 几乎处处收敛于 \(f^j\) ，所以 \(f^i=f^j,a.e. D_i\cap D_j\) . 因此可以取函数： \(f=f^k,x\in D_k,k\geq1\) .
假设 \(\{f_p\}_{p\geq1}\) 在 \(D\) 上不测度收敛于 \(f\) ，则可以取 \(\delta_0,\epsilon_0,\{f_{p_k}\}_{n\geq1}\) 满足： \(m(\{\lvert f_{p_k}-f\rvert>\delta_0\})\geq \epsilon_0\) ， #issue
📍 设 \(\{f_k\}_{k\ge1}\) 为 \([a,b]\) 上的一列实值可测函数，求证为使得 \(f_k\rightarrow0,a.e.\) 充分必要条件是 \(\forall \epsilon>0,m(\sup_{p\ge k}\lvert f_p\rvert>\epsilon)\rightarrow0(k\rightarrow \infty)\) .
证明：因为 \(f_k\rightarrow 0,a.e.\) ，所以：
其中 \((2)\) 成立参考依测度收敛的等价定义.
\((1)\) 的成立：对于任意的 \(\epsilon>0\) ，存在 \(r\ge 1\) 使得 \(m(\cap\cup\{|f_k|>1/r\})<\epsilon\) ，再取 \(r\) 足够大使得 \(\epsilon>1/r\) ，由 \(m(\cap\cup\{|f_k|>\epsilon\})\leq m(\cap\cup\{|f_k|>1/r\})\) 可以得到结论；另一方面，取 \(\epsilon=\frac{1}{r}\) ，则 \(m(\cap\cup\{|f_k|>1/r\})<1/r,\forall r\ge1\) 从而可以得到结论.
📍 对于上面的问题，如果将 \([a,b]\) 改为 \(\mathbb{R}\) 结论是否仍然成立？
采取截断的方法，令 \(\mathbb{R}=\bigcup_{n\ge1}[-n,n]\) . 则有：
其中 \((1)\) 成立是因为
\(\(m(f_k\not\rightarrow0)=m\left(\bigcup_{n\ge 1}\{x\in [-n,n]:f_k\not\rightarrow 0\}\right)=\lim_{n\rightarrow \infty}\{x\in [-n,n]:f_k\not\rightarrow0\}\)\)
\((2)\) 成立同理.
上面这两个例子，实际上说明了测度收敛等价于近一致收敛： \(\forall \epsilon>0,m\left(\sup_{p\ge k}|f_p-f|\ge \epsilon\right)\) .
（Borel - Cantelli 引理）设 \(\{E_n\}_{n\ge1}\) 为一列可测集，如果 \(\sum\limits_{n\ge 1}^{}m(E_n)<\infty\) ，则 \(m\left(\varlimsup_{n\rightarrow \infty}E_n\right)=0\) .
这是一个概率论中的定理，对于 \(\{E_n\}_{n\ge1}\) （事件列）取上极限得到的是出现在无数次事件中的结果. Borel - Cantelli 引理陈述的是如果一个事件集列的概率和是有限的，那么出现无数次出现的结果的概率为 \(0\) . check-wiki,check-mse.
设 \(\{f_k\}_{k\ge1}\) 为 \([a,b]\) 上的一列实值可测函数. 证明：存在正整数列 \(\{a_k\}_{k\ge1}\) 使得 \(a_kf_k\rightarrow0,a.e.\) .
证明：首先利用之前已经证明的结论： \(f_k\rightarrow 0(k\rightarrow \infty),a.e.\) 的充分必要条件为 \(\forall \epsilon>0,m(\sup_{p\ge k }|f_p|>\epsilon)\rightarrow0\) .
因此只需要证明：
即可，在本题中即为证明存在正整数列 \(\{a_k\}_{k\ge1}\) 使得：
由 Borel - Contelli 引理，充分条件为 \(\sum\limits_{k\ge 1}^{}m(|a_kf_k|>\epsilon)<\infty\) 而这并不难做到，因为 \(m(\lvert f_k\rvert=\infty)=0\) ，所以对于 \(k\ge 1\) ，存在 \(a_k\) 使得 \(|f_k|>\frac{\epsilon}{|a_k|}\) 足够大，从而 \(m(|a_kf_k|>\epsilon)<\frac{\epsilon'}{2^{k+1}}\) ，进而可以满足要求.
另一种证明思路：
注意到 \(\lim_{n\rightarrow \infty}m(|f_k|\ge n)=0,\forall k\ge 1\) （? [[2426Mo104727]]），所以存在 \(n_k\) 使得 \(m(|f_k|\ge n_k)<\frac{1}{2^{k+1}}\) 构造零测集： \(E=\bigcap_{m\ge 1}\bigcup_{k\ge m}\left\{\lvert f_k\rvert>n_k\right\}\) ，从而 \([a,b]\backslash E=\bigcup_{m\ge 1}\bigcap_{k\ge m}\left\{\lvert f_k\rvert\leq n_k\right\}\) ，所以存在 \(m_0,\forall k\ge m\) 有 \(\lvert f_k\rvert<n_k\) 则取 \(a_k=\frac{1}{n_k k}\) 即可.
在数学分析中，实数完备性指出： \(\mathbb{R}\) 中的 Cauchy 列（也称基本列）和收敛列是等价的 #imcomplete .
对于测度收敛也具有相同的结论. 首先定义何为测度中的基本列.
设 \(\{f_n\}_{n\geq1}\) 为定义在可测集 \(D\) 上的几乎处处有限的可测函数列，如果 \(\forall \delta>0\) ， \(m(\lvert f_m-f_n\rvert>\delta)\rightarrow0(m,n\rightarrow \infty)\) ，则称 \(\{f_n\}_{n\geq1}\) 为测度基本列 / 测度 Cauchy 列.
（测度收敛列等价于测度基本列） \(\{f_n\}_{n\geq1}\) 为定义在可测集 \(D\) 上的几乎处处有限的可测函数列，存在 \(D\) 上几乎处处有限的可测函数 \(f\) 使得 \(\{f_n\}_{n\geq1}\) 测度收敛于 \(f\) ， \(f\) 几乎处处有限等价于 \(\{f_n\}_{n\geq1}\) 是基本列.
证明：
对于 \([0,1]\) 中的可测集 \(A,B\) 定义 \(\rho(A,B)=\int_0^1\lvert \chi_A-\chi_B\rvert dx\) ，如果 \([0,1]\) 中的可测集列 \(\{A_n\}_{n\ge1}\) 满足 \(\rho(A_m,A_n)\rightarrow0(m,n\rightarrow \infty)\) ，证明： \([0,1]\) 中有可测集 \(A\) 使得 \(\rho(A_m,A)\rightarrow0(n\rightarrow \infty)\) .
[[2422Su215809]]
Lebesgue 积分¶
自查表
- 非负简单函数的 Lebesgue 积分定义； Lebesgue 可积和 Riemann 积分无关的反例；非负简单函数 Lebesgue 积分的性质；
- 非负可测函数的 Lebesgue 积分定义；
- 可测函数的 Lebesgue 积分定义；
- Levi 单增收敛定理， Fatou 定理，控制收敛定理；
在之前介绍了可测集、可测函数的定义. 下面介绍可测函数在可测集上的积分.
首先定义非负简单函数的 Lebesgue 积分，因为每一个可测函数都可以由简单函数列逼近，所以可以定义可测函数的积分，并且可以证明该积分与函数列的选取无关.
设 \(f(x)\) 为可测集 \(D\) 上的简单函数，则存在两两不交的可测集 \(\{E_i\}_{1\leq i\leq n}\) ， \(D=\bigcup_{1\leq i\leq n}E_i\) （称 \(\{E_i\}_{1\leq i\leq n}\) 为 \(D\) 的分划 ），以及 \(\{a_i\}_{1\leq i\leq n},a_i\geq0,\forall 1\leq i\leq n\) 使得 \(f=\sum\limits_{1\leq i\leq n}^{}a_i \chi_{E_i}\) .
定义非负简单函数 \(f\) 在 \(D\) 上的 Lebesgue 积分：
如果 \(\int_Df(x)dx<\infty\) ，则称 \(f\) 在 \(D\) 上 Lebesgue 可积，简记为 \(L\) 可积（下面或直接称可积）.
Lebesgue 可积 \(\not\Rightarrow\) Riemann 可积.
考虑非负简单函数 \(\chi_\mathbb{Q}\) ， \(\int_{\mathbb{R}}\chi_\mathbb{Q}dx=0\) ，而 \(\chi_\mathbb{Q}\) 不是 Riemann 可积的.
\(f,g\) 均为可测集 \(D\) 上的非负简单函数， \(f=g,a.e. x\in D\) ，则 \(f,g\) 在 \(D\) 上具有相同的积分.
非负简单函数的 \(L\) 积分具有如下性质：
设 \(f,g\) 均为可测集 \(D\) 上的非负简单函数，则
\(i)\) 若 \(f(x)\leq g(x),a.e.x\in D\) ，则 \(\int_Dfdx\leq \int_Dgdx\) ；
\(ii)\) \(\int_Dfdx\leq \max f(x)m(D)\) ；
\(iii)\) 对任意 \(\lambda,\mu\geq0\) 有 \(\int_D(\lambda f+\mu g)dx=\lambda\int_Dfdx+\mu\int_Dgdx\) ；
\(iv)\) 若 \(A,B\) 为 \(D\) 的两个不相交可测集，则 \(\int_{A\cup B}fdx=\int_Afdx+\int_Bfdx\) ；
设 \(g,f_n(n\geq1)\) 都是可测集 \(D\) 上的非负简单函数，并且满足： \(i)\) \(\{f_n\}_{n\geq1}\) 单调递增 \(a.e. x\in D\) . \(ii)\) \(0\leq g(x)\leq\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x),a.e.x\in D\) ，则 \(\int_Dgdx\leq \lim_{n\rightarrow \infty}\int_Df_ndx\) .
之前已经证明，任意的非负可测函数都有单调递增的处处收敛子列. 因此在定义简单函数的 Lebesgue 积分之后，可以定义非负可测函数的积分为： \(\int_Dfdx=\lim_{n\rightarrow \infty}\int_Df_ndx\) ，但不同的 \(\{f_n\}_{n\geq1}\) 是否会影响 \(\int_Dfdx\) 的取值？下面讨论这一问题.
[[2420Sa140750]]
有以下重要结论：
设 \(m(E)>0,f\in L(E)\) ， \(f\) 非负并且 \(\int_Ef(x)dx=0\) ，求证 \(f(x)=0,a.e.\) .
证明：由 \(f\) 非负，只需要证明 \(m(\{f>0\})=m\left(\bigcup_{n\geq1}\left\{f\ge\frac{1}{n}\right\}\right)=0\) ，注意到：
可得： \(m(\{f\geq 1/n\})=0\) ，从而 \(m(\{f>0\})\leq \sum_{n\geq1}m\left(\left\{f\geq \frac{1}{n}\right\}\right)=0\) .
Levi 单调递增收敛定理：设 \(f,f_n(n\geq1)\) 都是可测集 \(D\) 上的非负可测函数，并且对几乎所有的 \(x\in D\) ， \(\{f_n\}_{n\geq1}\) 单调收敛于 \(f\) ，则 \(\int_Dfdx=\lim_{n\rightarrow \infty}\int_Df_ndx\) .
根据 Levi 定理可以得到如下条件下的逐项积分：
设 \(\{f_k\}_{k\ge1}\) 为可测集 \(D\) 上的一列非负可测函数，则 \(\int_D\left(\sum\limits_{k\ge1}^{}f_k\right)dx=\sum\limits_{k\ge1}^{}\int_Df_kdx\) .
设 \(\{E_k\}_{1\leq k\leq n}\) 为 \([0,1]\) 中的 \(n\) 个可测集，如果 \([0,1]\) 中的每一个点至少属于这 \(n\) 个集合中的 \(q\) 个集，证明：这些集合中至少有一个测度不小于 \(\frac{q}{n}\) .
证明： \(\sum\limits_{k=1}^{n}\chi_{E_k}\ge q\) ，从而有：
所以 \(\sum\limits_{k=1}^{n}m(E_k)\ge q\) ，从而可得结论.
设 \(\{r_k\}_{k\ge1}\) 是 \([0,1]\) 中的有理数全体，求证： \(f(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2\sqrt{\lvert x-r_k\rvert}}\) 在 \([0,1]\) 上几乎处处收敛.
证明：
注意到 \(\{f_k\}_{k\ge1}\) 是一列非负可测函数，从而可得：
所以 \(f\) 几乎处处有限，则在 \([0,1]\) 上几乎收敛.
设 \(f\in L(\mathbb{R})\) ，求证 \(\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}f(x+n)\) 几乎处处绝对收敛. mse
证明：
所以 \(\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}f(x+n)\) 在 \([k,k+1]\) 上几乎处处收敛，进而由 \(k\) 的任意性可得结论.
Fatou 定理：设 \(f_n(n\geq1)\) 都是可测集 \(D\) 上的非负可测函数，则 \(\int_D\varliminf_{n\rightarrow \infty}f_ndx\leq \varliminf_{n\rightarrow \infty}\int_Df_ndx\) .
设 \(f,f_k(k\ge1)\in L(E)\) 且非负， \(f_k(x)\rightarrow f(x),a.e.\) 并且 \(\int_Ef_k(x)dx\rightarrow\int_Efdx\) ，证明：对于 \(E\) 的任一可测子集 \(e\) 有 \(\int_ef_kdx\rightarrow\int_efdx\) .
证明：首先由 Fatou 定理： \(\int_efdx\leq \lim_{n\rightarrow \infty}\int_e f_ndx\) .
令 \(e'=E-e\) 同理有： \(\int_{e'}fdx\leq \lim_{n\rightarrow \infty}\int_{e'}f_ndx\) .
因此：
而 \(\lim_{k\rightarrow \infty}\int_Ef_kdx=\int_Efdx\) ，所以 \(\int_ef_kdx\rightarrow \int_efdx(k\rightarrow \infty)\) .
在之前已经证明了对于可测函数 \(f\) ，其正部和负部均为可测函数，#^fGreaterThanGMeasurable，对于一般地可测函数 \(f\) 定义其 Lebesgue 积分为：
可以平行的得到一些相似的结论；[[2420Sa141112]]
Lebesgue 积分区别与 Riemann 积分的一个方面：绝对可积和可积是等价的.
\(f\in L(D)\) 的充分必要条件为 \(\lvert f\rvert\in L(D)\) .
推论：如果 \(f\) 在测度有限的集 \(D\) 上有界可测，则 \(f\in L(D)\) ，特别地，如果 \(f\in C([a,b])\) ，则 \(f\in L([a,b])\) .
证明： \(\lvert f\rvert<M,\forall x\in D\) ，从而 \(\int_a^b\lvert f\rvert dx\leq Mm(D)<\infty\) . 闭区间上的连续函数是有界可测函数，因此也有结论.
下面这个定理说得是：全体有理数值的简单函数在 \((L(D),d)\) 中稠密. 更多稠密的函数族见#函数在 \(L\) 积分下的稠密性
对于任意的 \(\epsilon>0\) ，有 \(D\) 上取有理数值的简单函数 \(h\) 使得 \(\int_D\lvert f-h\rvert dx<\epsilon\) .
证明：采取之前证明任意非负可测函数都存在收敛的简单函数列的方法. [[2420Sa142234]]
设在可测集- \(E\) 上非负可测函数 \(f_k\Rightarrow f\) ，求证： \(\int_Ef(x)dx\leq \varliminf_{k\rightarrow \infty}\int_Ef_k(x)dx\) . mse
证明：由下极限的性质，存在 \(\{f_k\}_{k}\) 的子列 \(\{f_{k_n}\}_{n\geq1}\) ，使得 \(\lim_{n\rightarrow \infty}\int_Ef_{k_n}dx=\varliminf_{k\rightarrow \infty}\int_Ef_k(x)dx\) ，并且由 \(f_k\Rightarrow f\) 可知 \(f_{k_n}\Rightarrow f\) ，由 Riesz 定理可知，存在 \(f_{k_n}\) 的收敛到 \(f\) 的子列 \(\{f_{k_{n_j}}\}_{j\geq1}\) ，再由 \(f\geq0\) ，根据 Fatou 定理：
设 \(f\in L(\mathbb{R})\) ，对于 \(\mathbb{R}\) 中的任意可测集 \(E\) ，求证： \(\int_Ef(ax+b)dx=\frac{1}{\lvert a\rvert}\int_{aE+b}fdx\) .
证明：如果 \(f(x)\) 是简单函数，不妨设 \(f=\sum\limits_{k=1}^{n}a_k\chi_{E_k}\) ，其中 \(E_k\) 为两两不交的可测集， \(\bigcup_{1\leq k\leq n}E_k=\mathbb{R}\) . 则有： \(\bigcup_{1\leq k\leq n}(aE_k+b)=\mathbb{R}\) ，并且 \(aE_i+b\cap aE_j+b=\emptyset,\forall 1\leq i<j\leq n\) . 则 \(\{aE_k+b\cap aE+b\}_{1\leq k\leq n}\) 为 \(aE+b\) 的一个分划.
设 \(f\) 是 \(\mathbb{R}\) 上的可测函数， \(T\) 是其正周期， \(f\in L([0,T])\) ，求证： \(\frac{1}{x}\int_0^xf(t)dt\rightarrow \frac{1}{T}\int_0^Tf(t)dt(x\rightarrow \infty)\) .
不妨设 \(x=kT+b,k\geq 1,b\in(0,T)\) . 则：
因为 \(f\in L([0,T])\) ，所以 \(\int_0^bf(t)dt\) 有限，所以当 \(k\rightarrow \infty\) 时：
\(\frac{1}{x}\int_0^xf(t)dt\rightarrow \frac{1}{T}\int_0^Tf(t)dt\) ，再由 \(b\) 的任意性可知上式成立
设 \(f\) 在 \(\mathbb{R}\) 上连续， \(\Delta_n(x)=n\left[f\left(x+\frac{1}{n})-f(x)\right)\right]\) ，如果对于任意 \(x\in \mathbb{R}\) ， \(\Delta_n(x)\rightarrow0\) ，并且有常数 \(M\) 使得 \(\lvert \Delta_n(x)\rvert\leq M\) ，求证 \(f\) 是常数.
收敛理论¶
之前已经介绍了 Levi 单增收敛定理和 Fatou 定理，下面介绍控制收敛定理，这三个重要定理均关于积分与极限是否能够换序.
控制收敛定理：设 \(f,f_n\) 均为可测集 \(D\) 上的可测函数，如果以下条件满足： 1) 存在 \(g\in L(D)\) ，使得对于任意 \(n\geq1\) ，在 \(D\) 上几乎处处有 \(\lvert f_n(x)\rvert\leq g(x)\) ；2) 在 \(D\) 上 \(f_n\) 几乎处处收敛于 \(f\) . 则 \(f,f_n(n\geq1)\) 都在 \(D\) 上可积. 并且 \(\lim_{n\rightarrow \infty}\int_Df_ndx=\int_Dfdx\) .
由 \(\lvert f_n(x)\rvert\leq g(x)\) 可得 \(\lvert f_n(x)-f(x)\rvert\leq 2g(x)\) ，由 Fatous 定理：
所以 \(\varlimsup_{n\rightarrow \infty}\int_D\lvert f_n-f\rvert dx=0\) ，所以 \(\lim_{n\rightarrow \infty}\int_D\lvert f_n-f\rvert dx=0\) ，所以 \(\lim_{n\rightarrow \infty}\int_Df_ndx=0\) .
另证：由 \(g(x)\geq \lvert f_n(x)\rvert\) 可得 \(g(x)\pm f_n(x)\geq0\) ，进而由 Fatous 定理：
则：
其中 \((2)\) 式：
因此有：
从而可得结论.
设 \(f,f_k\in L(\mathbb{R})\) 并且 \(\lvert f_k(x)\rvert\leq f(x)\) ，求证： \(\begin{aligned}\int_D \varliminf_{k\rightarrow \infty}f_k(x)dx &\leq \varliminf_{k\rightarrow \infty}\int_{\mathbb{R}}f_(x)dx\\&\leq \varlimsup_{k\rightarrow \infty}\int_\mathbb{R}f_k(x)dx\leq \int_\mathbb{R}\varlimsup_{k\rightarrow \infty}f_k(x)dx\end{aligned}\) #imcomplete-lack-proofs
设 \(\forall x\in \mathbb{R},f(x,y)\) 对 \(y\) 在 \([a,b]\) 上可积； \(\forall y\in [a,b],f(x,y)\) 对 \(x\) 可微，并且 \(\exists g\in L([a,b])\) 使得 \(\forall x\in \mathbb{R},y\in[a,b]\) 有 \(\left\lvert \frac{d}{dx}f(x,y)\right\rvert\leq g(y)\) . 证明： \(\forall x\in \mathbb{R}\) \(\frac{d}{dx}\int_a^bf(x,y)dy=\int_a^b\frac{d}{dx}f(x,y)dy\) .
证明：设 \(f_n(x,y)=n\left[f\left(x+\frac{1}{n},y\right)-f(x,y)\right]\) ，则对于给定的 \(x\) ，由微分中值定理可得 \(\exists \xi_n\in(x,x+1/n),f_n(x,y)=\frac{d}{dx}f(\xi_n,y)\) 从而 \(\lvert f_n(x,y)\rvert\leq g(y)\) ，这里 \(f_n(x,y)\) 是关于 \(y\) 的函数，并且 \(\frac{d}{dx}f=\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x,y)\) ，由控制收敛定理可得结论.
设 \(f\in L(\mathbb{R}),a>0\) ，求证： \(n^{-a}f(nx)\rightarrow 0,a.e.\)
证明：
由控制收敛定理：
从而 \(n^{-a}\lvert f(nx)\rvert\rightarrow0(n\rightarrow \infty)\) ，从而 \(n^{-a}f(nx)\rightarrow0,a.e.\)
控制收敛定理推论，有界收敛定理：设 \(\{f_n\}_{n\ge1}\) 为 \(E:m(E)<\infty\) 上的可测函数列 \(\lvert f_n\rvert\leq M<\infty,\forall n\ge1\) 并且 \(\lim f_n=f,a.e.\) ，则 \(f\in L(E)\) 并且 \(\lim_{n\rightarrow \infty}\int_Ef_n(x)dx=\int_Ef(x)dx)\)
证明：首先 \(f=\lim f_n\) 是可测函数，从而根据控制收敛定理： \(\int_Ef(x)dx=\lim_{n\rightarrow \infty}\int_Ef_n(x)dx\leq Mm(E)<\infty\) ，从而 \(f\in L(E)\) .
控制收敛定理推论：设 \(\{f_k\}_{k\ge1}\) 和 \(\{g_k\}_{k\ge1}\) 为可测集 \(E\) 上的两列可测函数，并且 \(\lvert f_k\rvert\leq g_k(x)\) ，若 \(f_k\rightarrow f,g_k\rightarrow g(k\rightarrow \infty),a.e.\) ，且 \(\int_Eg_k(x)dx\rightarrow \int_Egdx<\infty\) ，求证 \(\int_Ef_k(x)dx\rightarrow \int_Ef(x)dx\) .
\(g_k\) 是可测函数，因为 \(\int_Eg_k(x)dx\rightarrow \int_Egdx<\infty(k\rightarrow \infty)\) ，所以存在 \(K\in \mathbb{N}\) ，当 \(k>K\) 时 \(g_k\in L(E)\) ，又 \(\lvert f_k\rvert\leq g_k\)
- \(m(E)\ne0\) ，由 \(g_k\rightarrow g(k\rightarrow \infty)\) ，存在 \(K'\in \mathbb{N}\) ，当 \(k>\max\{K,K'\}\) 时 \(g_k\leq g+\frac{1}{m((E))}\) ，进而有 \(\lvert f_k\rvert\leq g+\frac{1}{m(E)},\forall k>\max\{K,K'\}\) ，又 \(\int_Eg+\frac{1}{m(E)}dx\leq \int_Egdx+1<\infty\) ，从而由控制收敛定理， \(f_k\rightarrow f(k\rightarrow \infty),a.e.\) 可知 \(\int_Ef_k(x)dx\rightarrow \int_Ef(x)dx(k\rightarrow \infty)\) .
- \(m(E)\neq0\) ，由 \(g_k\rightarrow g(k\rightarrow \infty)\) ，存在 \(K'\in \mathbb{N}\) ，当 \(k>\max\{K,K'\}\) 时 \(g_k\leq g+1\) ，进而有 \(\lvert f_k\rvert\leq g+1,\forall k>\max\{K,K'\}\) ，又 \(\int_Eg+1dx\leq \int_Egdx<\infty\) ，从而由控制收敛定理， \(f_k\rightarrow f(k\rightarrow \infty),a.e.\) 可知 \(\int_Ef_k(x)dx\rightarrow \int_Ef(x)dx(k\rightarrow \infty)\) .
设 \(\forall x\in \mathbb{R},f(x,y)\) 作为 \(y\) 的函数在 \([a,b]\) 上可积；而对于每一 \(y\in[a,b],f(x,y)\) 作为 \(x\) 的函数在 \(\mathbb{R}\) 上可微. \(\exists g(y)\in L([a,b])\) 使得 \(\forall x\in \mathbb{R},y\in [a,b],\left\lvert \frac{d}{dx}f(x,y)\right\rvert\leq g(y)\) 求证： \(\forall x\in \mathbb{R}\) 有 \(\frac{d}{dx}\int_a^bf(x,y)dy=\int_a^b\frac{d}{dx}f(x,y)dy\) .
证明：取任意 \(\Delta_n\rightarrow 0\) .
因为 \(\forall x\in \mathbb{R},y\in[a,b]\) 有 \(\left\lvert \frac{d}{dx}f(x,y)\right\rvert=\left\lvert \lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x,y)\right\rvert\leq g(y)\) ，所以当 \(n\) 充分大时 \(\lvert f_n(x,y)\rvert\leq g(y),\forall x\in \mathbb{R},y\in[a,b]\) 从而由控制收敛定理，对给定的 \(x\in \mathbb{R}\) ，考虑 \(f_n(y)=f_n(x,y)\) ，有：
设 \(f\in L([0,1])\) ，则极限 \(\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}\int_0^1\ln(1+e^{nf(x)})dx\) 是否存在？若存在时求极限.
类似 Levi 定理得到的逐项积分，根据控制收敛定理可得如下结论：
设 \(f_n\in L(E),\forall n\ge1\) ，若 \(\{E_n\}_{n\ge1}\) 是 \(D\) 的一个分划，则 \(\int_Dfdx=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\int_{E_k}fdx\) .
下面这个结论说明当积分域测度接近于 \(0\) 时积分趋 \(0\) .
（积分绝对连续性） \(f\in L(D)\) ，则对任意的 \(\epsilon>0\) 存在 \(\delta>0\) 使得对任意可测子集 \(A:m(A)<\delta\) 有： \(\left\lvert \int_Afdx\right\rvert<\epsilon\) .
设 \(f\in L(E)\) ，求证： \(k\cdot m(\{\lvert f\rvert>k\})\rightarrow0(k\rightarrow \infty)\) .
证明：类似于概率论中切比雪夫不等式的证明. 注意到 \(f\in L(E)\) ，所以 \(m\{f=\infty\}=0\) ，则对于任意的 \(\epsilon>0\) 存在 \(\delta>0\) ，使得 \(m(A)<\delta\) 时 \(\int_A|f|dx<\epsilon\) ，对于 \(\delta>0\) ，存在 \(K,k>K\) 时 \(m(\{\lvert f\rvert>k\})<\delta\) ，从而：
由 \(\epsilon\) 的任意性可得结论.
由积分的连续性可以得到如下结论：
（不定积分的连续性） \(f\in L((a,b))\) ，则 \(F(x)=\int_a^xf(t)dt\) 在 \((a,b)\) 上一致连续.
函数在 \(L\) 积分下的稠密性 / \(L_1\) 收敛¶
从特殊（简单函数、多项式函数、有界）到一般.
方法如截断、三角不等式.
定义 \(\lVert \cdot\rVert_L=(L)\int_{\mathbb{R}}\cdot dx\) ，可以证明这是一个度量，考虑度量空间 \((\mathcal{F},\lVert \cdot\rVert_L)\) ，其中 \(\mathcal{F}\) 为可测函数全体.
首先回顾之前的控制收敛定理，其实际上就蕴含了一个结论，如果可测函数列 \(\{f_n\}_{n\ge1}\) 能够被可测函数 \(g\) 控制，并且 \(\{f_n\}_{n\ge1}\) 几乎处处收敛于 \(f\) ，则有 \(\lim\int_{E}\lvert f_n-f\rvert dx\rightarrow0\) .
下面说明其中一些特殊的函数族在这一度量空间中的稠密性，或者说依 \(L_1\) 收敛.
设 \(f\in L(E),\epsilon>0\) ，求证：
存在有界可测函数 \(g\) 使得 \(\int_a^b\lvert f(x)-g(x)\rvert dx<\epsilon\) .
证明：
存在连续函数 \(h\) 使得 \(\int_a^b\lvert f(x)-h(x)\rvert dx<\epsilon\) .
存在多项式函数 \(P\) 使得 \(\int_a^b \lvert f(x)-P(x)\rvert<\epsilon\)
存在阶梯函数 \(S\) 使得 \(\int_a^b\lvert f(x)-S(x)\rvert dx<\epsilon\) .
设 \(g\) 为 \([-1,1]\) 上的有界可测函数，若对 \([-1,1]\) 上的任何偶连续函数 \(f\) 都有 \(\int_{-1}^1f(x)g(x)dx=0\) ，证明： \(g(x)=-g(-x),a.e.\)
证明：只需要证明 \(m(\{g(x)+g(-x)\neq-2\})=0\) .
因为 \(g\) 为 \([-1,1]\) 上的有界可测函数，所以 \(g(-x)\) 为 \([-1,1]\) 上的有界可测函数，则由 Lusin 定理，对于任意的 \(\epsilon>0\) ，存在沿着 \([-1,1]\) 连续的函数 \(g_\epsilon\) 满足 \(m(\{g(x)+g(-x)\neq g_\epsilon(x)+g_\epsilon(-x)\})=0\) .
注意到：
因此只需要证明：
即可.
并且：
从而：
[[2421Su174316]]
设 \(f\in L([0,1])\) ， \(\int_0^1f(x)dx=a\) ，求证：对于任意的正整数 \(n\) 有 \(E\subset[0,1]\) ，使得 \(m(E)=\frac{1}{n}\) 并且 \(\int_Ef(x)dx=\frac{a}{n}\) .
证明：不妨设 \(f\) 非负，则存在简单可测函数列 \(\{f_n\}_{n\ge1}\) 使得 \(\int_{[0,1]}fdx=\lim_{n\rightarrow \infty}f_ndx\) .
对于简单函数 \(f=\sum\limits_{i=1}^{k}a_k\chi_{E_k}\) ，[[2421Su211307]]
设 \(f\) 在 \([0,1]\) 上非负可测，如果存在非负整数 \(k\) 使得 \(\int_0^1f^k(x)dx=\int_0^1f^{k+1}(x)dx=\int_0^1f^{k+2}(x)dx<\infty\) ，求证：存在可测集 \(E\subset [0,1]\) 使得 \(f(x)=\chi_E(x),a.e.\)
证明：
并且 \(f\ge0\) ，所以 \(f^k(1-f)^2=0,a.e.\)
若 \(f=1,a.e.\) 则令 \(E=[0,1]\) 即可.
否则，令 \(E=\{f=1\}\) ，当 \(f\ne1\) 时 \(f=0,a.e.\) 从而得证.
为使得 \([a,b]\) 上的有界函数 \(f\) 是 \(R\) 可积的，充分必要条件为 \(f\) 在 \([a,b]\) 上几乎处处连续.
当 \(f\) \(R\) 可积时， \(f\) 必然 \(L\) 可积，并且积分值相同.
设 \(f,g\) 在 \([a,b]\) 上 Riemann 可积，且存在 \([a,b]\) 的稠子集 \(D\) ， \(f=g,\forall x\in D\) ，求证： \(\int_{[a,b]}fdx=\int_{[a,b]}gdx\) 并且 \(f=g,a.e.\)
证明：由题可知 \(\overline{D}=[a,b]\) ，
\(L\) 积分与 \(R\) 积分¶
设 \(f\) 为 \([a,b]\) 上的有界函数， \(f\in R[a,b]\) 的充分必要条件为 \(f\) 在 \([a,b]\) 上几乎处处连续. \(f\in R[a,b]\Rightarrow f\in L([a,b])\) 并且 \((R)\int_{[a,b]}fdx=(L)\int_{[a,b]}fdx\) .
^RandL
重积分与累次积分¶
在 Riemann 积分中，如果 \(f(x,y)\in C([a,b]\times[c,d])\) ，则有：
在 Lebesgue 中有类似的理论.
首先定义 \(\mathbb{R}^n\) 上的重积分和累次积分：
对 \(\mathbb{R}^n=\mathbb{R}^p\times \mathbb{R}^q,f(x,y),x\in \mathbb{R}^p,y\in \mathbb{R}^q\) ，如果 \(f(x,y)\in L(\mathbb{R}^n)\) 则定义：
称为 \(f(x,y)\) 在 \(\mathbb{R}^p\times \mathbb{R}^q\) 上的重积分.
如果 \(\forall x\in \mathbb{R}^p\) ， \(f(x,y)\) 在 \(\mathbb{R}^q\) 上的 \(L\) 积分存在（注意不要求有限，即 \(L\) 可积）
对于 \(F(x)=\int_{\mathbb{R}^q}f(x,y)dy\) ，如果 \(F(x)\) 在 \(\mathbb{R}^p\) 上的 \(L\) 积分存在，则定义：
为 \(f\) 的累次积分.
下面讨论被积函数满足哪些条件时有重积分和累次积分相等：
（Tonelli, Fubini 定理对非负可测函数）设 \(f(x,y)\) 为 \((x,y)\in \mathbb{R}^p\times \mathbb{R}^q\) 上的非负可测函数，则： 1) 对几乎所有的 \(x\in \mathbb{R}^p,f(x,y)\) 作为 \(y\in \mathbb{R}^q\) 非负可测；2) \(F(x)=\int_{\mathbb{R}^q}f(x,y)dy\) 作为 \(x\in \mathbb{R}^p\) 的函数非负可测；3) 重积分和累次积分相等. [[2422Su094741]]
求证：对任意实数 \(\alpha,\{(x,y):xy=\alpha\}\) 为 \(\mathbb{R}^2\) 中的零测集.
更一般地，对上面这个例题有如下结论：
（Fubini 定理）设 \(f(x,y)\in L(\mathbb{R}^p\times \mathbb{R}^q)\) ，则：1) 对几乎所有的 \(x\in \mathbb{R}^p,f(x,y)\) 作为 \(y\in \mathbb{R}^q\) 可积；2) \(F(x)=\int_{\mathbb{R}^q}f(x,y)dy\) 作为 \(x\in \mathbb{R}^p\) 的函数可积；3) 重积分和累次积分相等.
设 \(f,g\in C([a,b]),f(x)\leq g(x)\) ，令 \(E=\{(x,y):x\in[a,b],\in[f(x),g(x)]\}\) . \(h(x,y)\in L(E)\) ，证明： \(\int_Eh(x,y)dxdy=\int_a^bdx\int_{f(x)}^{g(x)}h(x,y)dy\) .
积分和微分¶
（Lebesgue）设 \(f\) 是 \([a,b]\) 上的实值单调递增函数，则 \(f\) 在 \([a,b]\) 上几乎处处可导， \(f'\in L([a,b])\) 并且 \(\int_{a}^bf'(x)dx\leq f(b)-f(a)\) .
证明思路是：
- 首先说明 \(f'\) 几乎处处存在，为此，证明 \(\varliminf_{n\rightarrow \infty}\frac{f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)}{\frac{1}{n}}=\varlimsup_{n\rightarrow \infty}\frac{f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)}{\frac{1}{n}}\) .
- 进一步为了说明 \(f\) 几乎处处可导，需要证明 \(f'\) 几乎处处有限，因此只需要证明 \(f'\in L([a,b])\) .
- 用一列非负可积函数 \(f'_n\) 逼近 \(f'\) ，利用 Fatou 定理 \(\int_{D}\varliminf_{n\rightarrow \infty}f_ndx\leq \varliminf_{n\rightarrow \infty}\int_Df_ndx\) 其中 \(D=[a,b]\) .
为了证明 \(1.\) ，定义左（右）邻域上下极限：
只需要证明，对于 \(\mathbb{R}\) 上的单增实值函数 \(f\) ：
假设已经证明该结论成立，对于区间 \([a,b]\) 上的函数 \(f\) ，将其开拓为 \(\mathbb{R}\) 上的单增实值函数：
则由上结论可知 \(f'\) 几乎处处存在.
令 \(g_n=\frac{f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)}{\frac{1}{n}}\) ，则 \(g_n\) 非负可测并且几乎处处收敛于 \(f'\) ，因此由 Fatou 定理：
从而 \(\int_{[a,b]}f'dx\leq f(b)-f(a)\) ，因此 \(f'\in L([a,b])\) ，所以 \(f'\) 在 \([a,b]\) 上几乎处处有限，因此 \(f\) 在 \([a,b]\) 上几乎处处可导.
现在来考虑证明：
为了证明这一命题，引入新的定义：
设实数集 \(E\) 和区间族 \(\Lambda\) ，如果对于任意的 \(x\in E,\epsilon>0\) ，
有界变差函数¶
设 \(f\) 为 \([a,b]\) 上的实值函数， \(X=\{x_k\}_{0\leq k\leq n}\) 为 \([a,b]\) 上的一个网. \(a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b\) . 如果：
则称 \(f\) 为 \([a,b]\) 上的有界变差函数，记为 \(f\in BV([a,b])\). 其中 \(V(X)=\sum\limits_{k=1}^{n}|f(x_k)-f(x_{k-1})|\) 为 \(f\) 对应网 \(X\) 的变差， \(T_a^b(f)\) 称为 \(f\) 在 \([a,b]\) 上的全变差.
\([a,b]\) 上的单调实值函数有界变差.
\(T_a^b(f)=|f(b)-f(a)|<\infty\)
最后得到如下推论：
\(f\in BV([a,b])\) ，则 \(f\) 几乎处处可导，并且 \(f'\) 在 \([a,b]\) 上
绝对连续函数¶
若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上单增并且满足 Newton - Leibnitz 公式，则 \(f\) 绝对连续.
若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上可微，并且 \(f'\in L([a,b])\) ，则 \(f\) 在 \([a,b]\) 上绝对连续，从而有 Newton - Leibnitz 公式成立.